Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Чтобы услышать форму барабана – значит, выводить информацию о форме барабанной мембраны из издаваемого ею звука, то есть из набора обертонов, используя математическую теорию. "Можно ли услышать форму барабана?" – так названа статья Марка Каца, опубликованная в 1966 году в журнале American Mathematical Monthly, которая и прославила этот вопрос, хотя именно эта формулировка принадлежит Липману Берсу. Подобные вопросы можно проследить вплоть до физика Артура Шустера в 1882 году. За эту статью Кац был удостоен премии Лестера Р. Форда в 1967 году и премии Шовене в 1968 году. Частоты, на которых может вибрировать барабанная мембрана, зависят от её формы. Уравнение Гельмгольца позволяет вычислить эти частоты, если форма известна. Эти частоты являются собственными значениями лапласиана в данном пространстве. Центральный вопрос заключается в том, можно ли определить форму, зная частоты; например, можно ли таким образом распознать треугольник Рейо. Кац признался, что не знает, возможно ли, чтобы две различные формы давали один и тот же набор частот. Окончательный ответ на вопрос, определяют ли частоты форму, был получен в начале 1990-х годов Гордоном, Уэббом и Вулпертом – отрицательный.
To hear the shape of a drum is to infer information about the shape of the drumhead from the sound it makes, i. e., from the list of overtones, via the use of mathematical theory. "Can One Hear the Shape of a Drum?" is the title of a 1966 article by Mark Kac in the American Mathematical Monthly which made the question famous, though this particular phrasing originates with Lipman Bers. Similar questions can be traced back all the way to physicist Arthur Schuster in 1882. For his paper, Kac was given the Lester R. Ford Award in 1967 and the Chauvenet Prize in 1968. The frequencies at which a drumhead can vibrate depend on its shape. The Helmholtz equation calculates the frequencies if the shape is known. These frequencies are the eigenvalues of the Laplacian in the space. A central question is whether the shape can be predicted if the frequencies are known; for example, whether a Reuleaux triangle can be recognized in this way. Kac admitted that he did not know whether it was possible for two different shapes to yield the same set of frequencies. The question of whether the frequencies determine the shape was finally answered in the negative in the early 1990s by Gordon, Webb and Wolpert.
Ответ
В 1964 году Джон Милнор заметил, что теорема о решетках, полученная Эрнстом Виттом, подразумевает существование пары 16-мерных плоских торов, имеющих одинаковые собственные значения, но различную форму. Однако проблема в двух измерениях оставалась открытой до 1992 года, когда Кэролин Гордон, Дэвид Уэбб и Скотт Вулперт, основываясь на методе Сунады, построили пару областей на плоскости, которые имеют разные формы, но идентичные собственные значения. Эти области являются вогнутыми многоугольниками. Доказательство того, что обе области имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии оператора Лапласа. Эта идея была обобщена Бузером, Конвеем, Дойлом и Семмлером, которые построили множество подобных примеров. Таким образом, ответ на вопрос Каца таков: для многих форм нельзя полностью определить форму барабана по его звуку. Однако некоторую информацию можно получить. С другой стороны, Стив Зельдич доказал, что ответ на вопрос Каца положителен, если наложить ограничения на определенные выпуклые плоские области с аналитической границей. Неизвестно, могут ли две невыпуклые аналитические области иметь одинаковые собственные значения. Известно, что множество областей, изоспектральных данной, компактно в топологии C∞. Более того, сфера (например) спектрально жесткая, согласно теореме сравнения собственных значений Ченга. Также известно, что, согласно результату Осгуда, Филлипса и Сарнака, модульное пространство римановых поверхностей заданного рода не допускает непрерывного изоспектрального потока ни через какую точку и компактно в топологии Фреше–Шварца.
In 1964, John Milnor observed that a theorem on lattices due to Ernst Witt implied the existence of a pair of 16 dimensional flat tori that have the same eigenvalues but different shapes. However, the problem in two dimensions remained open until 1992, when Carolyn Gordon, David Webb, and Scott Wolpert constructed, based on the Sunada method, a pair of regions in the plane that have different shapes but identical eigenvalues. The regions are concave polygons. The proof that both regions have the same eigenvalues uses the symmetries of the Laplacian. This idea has been generalized by Buser, Conway, Doyle, and Semmler who constructed numerous similar examples. So, the answer to Kac's question is: for many shapes, one cannot hear the shape of the drum completely. However, some information can be inferred. On the other hand, Steve Zelditch proved that the answer to Kac's question is positive if one imposes restrictions to certain convex planar regions with analytic boundary. It is not known whether two non convex analytic domains can have the same eigenvalues. It is known that the set of domains isospectral with a given one is compact in the C∞ topology. Moreover, the sphere (for instance) is spectrally rigid, by Cheng's eigenvalue comparison theorem. It is also known, by a result of Osgood, Phillips, and Sarnak that the moduli space of Riemann surfaces of a given genus does not admit a continuous isospectral flow through any point, and is compact in the Fréchet–Schwartz topology.
Формула Вейла
Формула Вейля утверждает, что можно определить площадь A барабана, подсчитывая скорость роста λn. Мы определяем N(R) как количество собственных значений, меньших R, и получаем
Weyl's formula states that one can infer the area A of the drum by counting how rapidly the λn grow. We define N(R) to be the number of eigenvalues smaller than R and we get
где d – размерность, а – объем d-мерного единичного шара. Вейль также предположил, что следующий член в приближении ниже даст периметр D. Иными словами, если L обозначает длину периметра (или площадь поверхности в более высоких измерениях), то должно выполняться
where d is the dimension, and is the volume of the d dimensional unit ball. Weyl also conjectured that the next term in the approximation below would give the perimeter of D. In other words, if L denotes the length of the perimeter (or the surface area in higher dimension), then one should have
Для гладкой границы это было доказано Виктором Иврием в 1980 году. Также многообразию не разрешается иметь двухпараметрическое семейство периодических геодезических, как, например, у сферы.
For a smooth boundary, this was proved by Victor Ivrii in 1980. The manifold is also not allowed to have a two parameter family of periodic geodesics, such as a sphere would have.