Введение
Метрическая геометрия
В математическом анализе метрическое пространство M называется полным (или пространством Коши), если любая последовательность Коши в M имеет предел, который также принадлежит M.
Интуитивно, пространство является полным, если в нем нет "отсутствующих точек" (внутри или на границе). Например, множество рациональных чисел не является полным, поскольку, например, √2 "отсутствует" в нем, хотя можно построить последовательность Коши рациональных чисел, сходящуюся к √2 (см. дополнительные примеры ниже). Всегда можно "заполнить все пробелы", что приводит к завершению данного пространства, как описано ниже.
Некоторые теоремы
Каждое компактное метрическое пространство полно, хотя полное пространство не обязательно должно быть компактным. Фактически, метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и полно ограничено. Это обобщение теоремы Хайне — Бореля, которая утверждает, что любое замкнутое и ограниченное подпространство Rⁿ компактно и, следовательно, полно. Пусть X — полное метрическое пространство. Если A — замкнутое множество, то A также полно. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Если A — полное подпространство, то A также замкнуто. Если X — множество, а (Y, ρ) — полное метрическое пространство, то множество всех ограниченных функций f: X → Y является полным метрическим пространством. Здесь мы определяем расстояние в Y через расстояние в Y с использованием супремум-нормы.
Если X — топологическое пространство, а (Y, ρ) — полное метрическое пространство, то множество, состоящее из всех непрерывных ограниченных функций f: X → Y, является замкнутым подпространством Y и, следовательно, также полным. Теорема о категории Бейра утверждает, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бейра. То есть, объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств пространства имеет пустую внутренность. Теорема о неподвижной точке Банаха утверждает, что сжимающее отображение на полном метрическом пространстве имеет неподвижную точку. Теорема о неподвижной точке часто используется для доказательства теоремы об обратной функции на полных метрических пространствах, таких как пространства Банаха.