Кіріспе

Карталау функциясы

Математикада, аддитивті жиынтық функциясы – жиындарды сандарға бейнелейтін функция, мұнда екі бөлек жиынның бірігіндегі мәні осы жиындардағы мәндерінің қосындысына тең болады, яғни. Егер бұл аддитивтілік қасиеті кез келген екі жиын үшін орындалса, онда ол кез келген шекті сандағы жиындар үшін де орындалады, яғни k бөлек жиынның бірігіндегі функция мәні (мұнда k – шекті сан) жиындардағы мәндерінің қосындысына тең. Сондықтан, аддитивті жиынтық функциясы шекті аддитивті жиынтық функция деп те аталады (терминдер мағыналас). Дегенмен, шекті аддитивті жиынтық функциясы шексіз көп жиындардың бірігі үшін аддитивтілік қасиетіне ие болмауы мүмкін. σ-аддитивті жиынтық функциясы – сансыз көп жиындарға да аддитивтілік қасиеті бар функция, яғни.

Аддитивтілік және сигма-аддитивтілік – өлшемдердің ерекше маңызды қасиеттері. Олар бірнеше нысанды қарастырғанда жиынның (ұзындығы, ауданы, көлемі) интуитивті қасиеттерінің абстракциясы болып табылады. Аддитивтілік, сигма-аддитивтіліктен әлсіз жағдай; яғни сигма-аддитивтілік аддитивтілікті білдіреді. Модульдік жиынтық функциясы термині аддитивті жиынтық функциясымен мағыналас; модульділік туралы төменде қараңыз.

σ-қосылмалы жиын функциялары

Бұл σ-алгебра болсын. Егер жиындардың жұп-жұптан ортақ бөлігі жоқ тізбегі үшін

орындалса, онда бұл σ-алгебра саналатын қосымды деп айтылады немесе кез келген қосымды функция қосымды болады, бірақ керісінше дұрыс емес, төменде көрсетілгендей.

Қасиеттері

Қосымша жиынтық функциясының пайдалы қасиеттері мыналар:

Бос жиынның мәні

Немесе доменіндегі барлық жиындықтарға белгілейді, немесе доменіндегі барлық жиындықтарға белгілейді. Дәлел: аддитивтілік әрбір жиын үшін егер онда бұл теңдік тек плюс немесе минус шексіздік арқылы ғана орындалуы мүмкін екенін көрсетеді.

Біртектілік

Егер теріс емес болса және болса, онда . Яғни, монотонды жиындық функциясы болып табылады. Сол сияқты, егер теріс болмаса, онда .

Жалпылау

Кез келген аддитивті моноидтағы (мысалы, кез келген топтағы немесе көбінесе векторлық кеңістіктегі) мәндермен аддитивті функцияларды анықтауға болады. Сигма-қосымшалық үшін, сол жиынтықта тізбектің лимітінің ұғымы анықталған болуы керек. Мысалы, спектрлік өлшемдер Банах алгебрасындағы мәндері бар сигма-қосымша функциялар болып табылады. Тағы бір мысал, кванттық механикадан да алынған, – оң операторлық бағаланған өлшем.