Фракталдық өлшемнің инвариантты шамасы

Кіріспе

Фракталдық өлшемнің инварианттық өлшемі

Математикада Хаусдорф өлшемі — 1918 жылы математик Феликс Хаусдорф енгізген дөңгелексіздіктің немесе, дәлірек айтқанда, фракталдық өлшемнің өлшемі. Мысалы, бір нүктенің Хаусдорф өлшемі нөлге тең, кесіндінікі — 1, квадраттыкі — 2, ал кубтыкі — 3. Яғни, тегіс пішін немесе аздаған бұрыштары бар пішін анықтайтын нүктелер жиыны үшін — дәстүрлі геометрия мен ғылым пішіндері үшін — Хаусдорф өлшемі қалыпты өлшем сезімімен сәйкес келетін бүтін сан, ол топологиялық өлшем деп те аталады. Дегенмен, басқа, одан да күрделі емес нысандардың өлшемдерін есептеуге мүмкіндік беретін формулалар да жасалған, онда олардың масштабталу және өзін-өзі ұқсастық қасиеттеріне сүйене отырып, белгілі бір нысандар — соның ішінде фракталдар — бүтін емес Хаусдорф өлшемдеріне ие деген қорытындыға келінеді. Абрам Самойлович Бесикович жасаған маңызды техникалық жетістіктер өте ретсіз немесе «дөңгелек» жиынтықтардың өлшемдерін есептеуге мүмкіндік бергендіктен, бұл өлшемді әдетте Хаусдорф–Бесикович өлшемі деп те атайды. Дәлірек айтқанда, Хаусдорф өлшемі — метрикалық кеңістікке байланысты өлшемдік сан, яғни барлық мүшелері арасындағы қашықтықтар анықталған жиын. Өлшем кеңейтілген нақты сандардан алынған, , жалпы метрикалық кеңістікке байланысты емес, тек теріс емес бүтін сандардағы мәндерді ғана қабылдайтын өлшемнің интуитивті түсінігіне қарама-қарсы. Математикалық тұрғыдан алғанда, Хаусдорф өлшемі нақты векторлық кеңістіктің өлшем туралы түсінігін жалпылайды. Яғни, n өлшемді ішкі көбейту кеңістігінің Хаусдорф өлшемі n-ге тең. Бұл бұрынғы мәлімдемені негіздейді: нүктенің Хаусдорф өлшемі нөл, түзудікі — бір және т.б., сондай-ақ ретсіз жиынтықтардың бүтін емес Хаусдорф өлшемдері болуы мүмкін. Мысалы, оң жақта көрсетілген Кох қар жапырағы теңқабыршалы үшбұрыштан құралған; әр итерацияда оның құрамдас кесінділері бірлік ұзындығы 3 кесіндіге бөлінеді, жаңадан құрылған ортаңғы кесінді сыртқа қарай бағытталған жаңа теңқабыршалы үшбұрыштың негізі ретінде қолданылады, содан кейін бұл базалық кесінді жойылып, бірлік ұзындығы 4 итерациядан соңғы нысан қалдырылады. Яғни, бірінші итерациядан кейін әр түпнұсқалық кесінді N = 4 арқылы алмастырылды, мұнда әр өзін-өзі ұқсас көшірмесі 1/S = 1/3 түпнұсқасынан ұзын. Бұл теңдеуді D үшін оңай шешуге болады, нәтижесінде сандардағы логарифмдердің (немесе табиғи логарифмдердің) қатынасы шығады, және Кох және басқа фракталдық жағдайларда осы нысандар үшін бүтін емес өлшемдерді береді. Хаусдорф өлшемі — қарапайым, бірақ көбінесе эквивалентті, қорапты санау немесе Минковский–Булиганд өлшемдерінің жалғасы болып табылады.

In mathematics, Hausdorff dimension is a measure of roughness, or more specifically, fractal dimension, that was introduced in 1918 by mathematician Felix Hausdorff. For instance, the Hausdorff dimension of a single point is zero, of a line segment is 1, of a square is 2, and of a cube is 3. That is, for sets of points that define a smooth shape or a shape that has a small number of corners—the shapes of traditional geometry and science—the Hausdorff dimension is an integer agreeing with the usual sense of dimension, also known as the topological dimension. However, formulas have also been developed that allow calculation of the dimension of other less simple objects, where, solely on the basis of their properties of scaling and self similarity, one is led to the conclusion that particular objects—including fractals—have non integer Hausdorff dimensions. Because of the significant technical advances made by Abram Samoilovitch Besicovitch allowing computation of dimensions for highly irregular or "rough" sets, this dimension is also commonly referred to as the Hausdorff–Besicovitch dimension. More specifically, the Hausdorff dimension is a dimensional number associated with a metric space, i. e. a set where the distances between all members are defined. The dimension is drawn from the extended real numbers, , as opposed to the more intuitive notion of dimension, which is not associated to general metric spaces, and only takes values in the non negative integers. In mathematical terms, the Hausdorff dimension generalizes the notion of the dimension of a real vector space. That is, the Hausdorff dimension of an n dimensional inner product space equals n. This underlies the earlier statement that the Hausdorff dimension of a point is zero, of a line is one, etc., and that irregular sets can have noninteger Hausdorff dimensions. For instance, the Koch snowflake shown at right is constructed from an equilateral triangle; in each iteration, its component line segments are divided into 3 segments of unit length, the newly created middle segment is used as the base of a new equilateral triangle that points outward, and this base segment is then deleted to leave a final object from the iteration of unit length of 4. That is, after the first iteration, each original line segment has been replaced with N=4, where each self similar copy is 1/S = 1/3 as long as the original. This equation is easily solved for D, yielding the ratio of logarithms (or natural logarithms) appearing in the figures, and giving—in the Koch and other fractal cases—non integer dimensions for these objects. The Hausdorff dimension is a successor to the simpler, but usually equivalent, box counting or Minkowski–Bouligand dimension.

Интуиция

Геометриялық нысанның өлшемінің интуитивті түсінігі – X нысанының ішіндегі бірегей нүктені анықтау үшін қажетті тәуелсіз параметрлердің саны. Дегенмен, екі параметрмен берілген кез келген нүктені бір параметрмен да анықтауға болады, себебі нақты жазықтықтың кардиналдығы нақты түзудің кардиналдығына тең (мұны екі санның цифрларын біріктіре отырып, бір санға айналдырып, сол ақпаратты кодтау арқылы көрсетуге болады). Кеңістікті толтыру қисығының мысалы, нақты түзуді нақты жазықтыққа сюръективті түрде (бір нақты санды нақты сандар жұбына бейнелеу арқылы, барлық сандар жұбын қамту) және үздіксіз бейнелеуге болатынын көрсетеді, сондықтан бір өлшемді нысан жоғары өлшемді нысанды толығымен толтыра алады. Кез келген кеңістікті толтыру қисығы кейбір нүктелерге бірнеше рет тиіп, үздіксіз кері функцияға ие болмайды. Екі өлшемді бір өлшемге үздіксіз және кері үздіксіз түрлендіру мүмкін емес. Топологиялық өлшем, сондай-ақ Лебег қаптамалық өлшемі деп аталатын бұл өлшем, себебін түсіндіреді. Бұл өлшем – X нысанын кішкентай ашық шарлармен жабу кезінде, әрбір жабуда кемінде бір нүктеде n+1 шардың қабаттасатын ең үлкен бүтін сан n. Мысалы, сызықты қысқа ашық аралықтармен жабу кезінде, кейбір нүктелер екі рет жабылуы керек, бұл n=1 өлшемін береді. Бірақ топологиялық өлшем – кеңістіктің жергілікті өлшемінің (нүктеге жақын өлшемінің) өте жуан өлшемі. Аймақтың көп бөлігін толтырса да, кеңістікті толтыруға жақын қисық сызықтың топологиялық өлшемі бірге тең болуы мүмкін. Фракталдың топологиялық өлшемі бүтін сан болады, бірақ ол алатын кеңістік көлемі бойынша жоғары өлшемді кеңістік сияқты әрекет етеді. Хаусдорф өлшемі кеңістіктің жергілікті өлшемін нүктелер арасындағы қашықтықты, яғни метриканы ескере отырып өлшейді. X нысанын толық жабу үшін қажетті, ең көп r радиусы бар N(r) шарлардың санын қарастырайық. r өте кішкентай болғанда, N(r) 1/r-мен полиномдық түрде өседі. Жақсы қасиеттері бар X үшін, Хаусдорф өлшемі – N(r) r нөлге жақындағанда 1/r<sup>d</sup> ретінде өсетін бірегей сан d. Нақтырақ айтқанда, бұл қорапты санау өлшемін анықтайды, ол d мәні кеңістікті жабуға жеткіліксіз өсу жылдамдығы мен шамадан тыс өсу жылдамдығы арасындағы шекара болғанда Хаусдорф өлшемімен тең болады. Тегіс пішіндер үшін немесе азын-малы бұрыштары бар пішіндер үшін, дәстүрлі геометрия мен ғылымның пішіндері үшін Хаусдорф өлшемі топологиялық өлшеммен сәйкес келетін бүтін сан болады. Беноа Мандельброф фракталдардың, бүтін емес Хаусдорф өлшемдері бар жиынтықтардың табиғатта кеңінен таралғанын байқады. Ол айналаңыздағы дөңгелек емес бұлттардың, конус емес таулардың, шеңбер емес жағалау сызықтарының және тегіс емес қабықтың, сондай-ақ найзағайдың түзу сызықпен жүрмейтінін атап өтті. Табиғатта кездесетін фракталдар үшін Хаусдорф және қорапты санау өлшемдері сәйкес келеді. Қаптама өлшемі – көптеген пішіндер үшін бірдей мән беретін тағы бір ұқсас ұғым, бірақ осы өлшемдердің барлығы әртүрлі болатын жақсы құжатталған ерекшеліктер бар.

The intuitive concept of dimension of a geometric object X is the number of independent parameters one needs to pick out a unique point inside. However, any point specified by two parameters can be instead specified by one, because the cardinality of the real plane is equal to the cardinality of the real line (this can be seen by an argument involving interweaving the digits of two numbers to yield a single number encoding the same information). The example of a space filling curve shows that one can even map the real line to the real plane surjectively (taking one real number into a pair of real numbers in a way so that all pairs of numbers are covered) and continuously, so that a one dimensional object completely fills up a higher dimensional object. Every space filling curve hits some points multiple times and does not have a continuous inverse. It is impossible to map two dimensions onto one in a way that is continuous and continuously invertible. The topological dimension, also called Lebesgue covering dimension, explains why. This dimension is the greatest integer n such that in every covering of X by small open balls there is at least one point where n + 1 balls overlap. For example, when one covers a line with short open intervals, some points must be covered twice, giving dimension n = 1. But topological dimension is a very crude measure of the local size of a space (size near a point). A curve that is almost space filling can still have topological dimension one, even if it fills up most of the area of a region. A fractal has an integer topological dimension, but in terms of the amount of space it takes up, it behaves like a higher dimensional space. The Hausdorff dimension measures the local size of a space taking into account the distance between points, the metric. Consider the number N(r) of balls of radius at most r required to cover X completely. When r is very small, N(r) grows polynomially with 1/r. For a sufficiently well behaved X, the Hausdorff dimension is the unique number d such that N(r) grows as 1/rd as r approaches zero. More precisely, this defines the box counting dimension, which equals the Hausdorff dimension when the value d is a critical boundary between growth rates that are insufficient to cover the space, and growth rates that are overabundant. For shapes that are smooth, or shapes with a small number of corners, the shapes of traditional geometry and science, the Hausdorff dimension is an integer agreeing with the topological dimension. But Benoit Mandelbrot observed that fractals, sets with noninteger Hausdorff dimensions, are found everywhere in nature. He observed that the proper idealization of most rough shapes you see around you is not in terms of smooth idealized shapes, but in terms of fractal idealized shapes:

Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. For fractals that occur in nature, the Hausdorff and box counting dimension coincide. The packing dimension is yet another similar notion which gives the same value for many shapes, but there are well documented exceptions where all these dimensions differ.

Ресми анықтама

Хаусдорф өлшемінің ресми анықтамасы алдымен Лебег өлшемінің бөлшектік өлшемдік аналогы болып табылатын d өлшемді Хаусдорф өлшемін анықтау арқылы алынады. Біріншіден, сыртқы өлшем құрастырылады: болсын – метрикалық кеңістік. Егер және ,

мұндағы инфимум барлық саналатын жабындардың жиыны бойынша алынады, онда Хаусдорфтың d өлшемді сыртқы өлшемі деп анықталады, ал осы функцияның өлшенетін жиындарға шектелуі оны өлшем ретінде негіздеп, d өлшемді Хаусдорф өлшемі деп аталады.

Мысалдар

[[Сурет: Серпинский тереңдігі.svg|thumb|upright=1.2|Фракталдың тағы бір мысалының өлшемі. Сиерпинский үшбұрышы – Гаусдорф өлшемі log(3)/log(2)≈1,58 болатын объекті. Евклид кеңістігінің Гаусдорф өлшемі бар, ал шеңбердің Гаусдорф өлшемі 1-ге тең. Сиерпинский үшбұрышы – өзінің үш көшірмесінің бірігісі, әр көшірмесі 1/2 есеге кішірейтілген; бұл Гаусдорф өлшемін ln(3)/ln(2) ≈ 1,58-ге тең етіп береді.
thumb|upright=1.2|Ұлыбритания жағалауының Гаусдорф өлшемін бағалау.
Льюис Фрай Ричардсон әртүрлі жағалаулардың шамамен Гаусдорф өлшемін анықтау үшін егжей-тегжейлі тәжірибелер жүргізді. Оның нәтижелері Оңтүстік Африка жағалауы үшін 1,02-ден бастап Ұлыбританияның батыс жағалауы үшін 1,25-ке дейін ауытқып келді.]

Өзін-өзі ұқсас жиынтықтар

Өз-өзіне ұқсастық шартымен анықталған көптеген жиынтықтардың өлшемдерін нақты анықтауға болады. Деректеп айтқанда, E жиынтығы өзіне ұқсас болады, егер ол ψ жиынтық-мәнді түрлендірудің тұрақты нүктесі болса, яғни ψ(E) = E, бірақ нақты анықтамасы төменде келтірілген. Теорема. Егер

әрқайсысы Rn-дегі жиырылу тұрақтысы ri < 1 болатын жиырылулы бейнелеулер болса, онда A түріндегі бірегей бос емес, тығыз жиынтық бар, мұндағы Теорема Стефан Банахтың Хаусдорф метрикасымен толыққан Rn-нің бос емес тығыз жиынтықтарының метрикалық кеңістігіне қолданылатын жиырылулы бейнелеудің тұрақты нүкте теоремасынан шығады.