Кіріспе
Жергілікті компактты топологиялық топтарда солға немесе оңға инвариантты өлшем
Математикалық талдауда Haar өлшемі жергілікті компактты топологиялық топтардың кіші жиынтықтарына "инвариантты көлемді" тағайындайды, соның салдарынан осы топтардағы функциялар үшін интегралды анықтайды. Бұл өлшемді 1933 жылы Альфред Хаар енгізді, бірақ оның Lie топтары үшін ерекше жағдайы 1897 жылы Адольф Хурвиц "өзгермейтін интеграл" деген атпен енгізген болатын. Haar өлшемдері талдаудың, сан теориясының, топтар теориясының, өкілдік теориясының, статистиканың, ықтималдықтар теориясының және эргодикалық теорияның көптеген салаларында қолданылады.
In mathematical analysis, the Haar measure assigns an "invariant volume" to subsets of locally compact topological groups, consequently defining an integral for functions on those groups. This measure was introduced by Alfréd Haar in 1933, though its special case for Lie groups had been introduced by Adolf Hurwitz in 1897 under the name "invariant integral". Haar measures are used in many parts of analysis, number theory, group theory, representation theory, statistics, probability theory, and ergodic theory.
Компактты кіші жиынтықты пайдаланатын құрылым
Хаар өлшемін құрастырудың келесі әдісі Хаар мен Вейль қолданған әдіспен ұқсас. Бос емес кез келген ішкі жиын үшін, оны жабатын сол жақ трансляциялардың ең кіші саны деп анықтаймыз (яғни, бұл теріс емес бүтін сан немесе шексіз). Бұл компакт жиынтарда қосылмайды, бірақ егер ол бірлікке қатысты жеткілікті кішкентай ашық маңда болса, дизъюнктивті компакт жиынтар үшін қасиеттері бар (бірлікке және жиынға байланысты). Сондықтан, бос емес ішкі бөлігі бар компакт жиынтықты (топ жергілікті компакт болғандықтан мұндай жиын бар) бекітіп, компакт жиын үшін, кез келген берілген маңда орналасқан бірлікке қатысты ашық маңдардың сәйкес бағытталған жиыны бойынша шек аламыз; шек бар болатын бағытталған жиынның болуы Тихонов теоремасынан келеді. Функция, -ның дизъюнктивті компакт ішкі жиынтықтарында аддитивті, яғни ол реттелген мазмұн болып табылады. Реттелген мазмұннан өлшемді алдымен ішкі реттелгіштік арқылы ашық жиынтарға, содан кейін сыртқы реттелгіштік арқылы барлық жиынтарға кеңейтіп, содан кейін оны Борель жиынтықтарына шектеу арқылы құрастыруға болады. (Тіпті ашық жиынтар үшін де, тиісті өлшем жоғарыдағы lim sup формуласымен берілмеуі мүмкін. Мәселе мынада: lim sup формуласымен берілген функция жалпы алғанда санауға келмейтін суб-аддитивті болып табылады және әсіресе, тығыз жабылуы жоқ кез келген жиын үшін шексіз, сондықтан ол сыртқы өлшем емес.)
where the limit is taken over a suitable directed set of open neighborhoods of the identity eventually contained in any given neighborhood; the existence of a directed set such that the limit exists follows using Tychonoff's theorem. The function is additive on disjoint compact subsets of , which implies that it is a regular content. From a regular content one can construct a measure by first extending to open sets by inner regularity, then to all sets by outer regularity, and then restricting it to Borel sets. (Even for open sets , the corresponding measure need not be given by the lim sup formula above. The problem is that the function given by the lim sup formula is not countably subadditive in general and in particular is infinite on any set without compact closure, so is not an outer measure.)
Функциялардың орташа мәндерін пайдаланатын конструкция
Фон Нейман функциялардың орташа мәндерін қолдана отырып, Хаар өлшемін құру әдісін берді, бірақ ол тек компактты топтар үшін ғана жұмыс істейді. Идеясы мынада: егер компактты топта функция берілсе, оның сол жаққа жылжуларының (мұндағы ) дөңгелек комбинациясын табуға болады, ол тұрақты функциядан ең көп дегенде кішкентай санмен ғана ерекшеленеді. Содан кейін, егер нөлге жақындаса, осы тұрақты функциялардың мәндері функцияның орташа мәні (немесе интегралы) деп аталатын шекке жақындайтынын көрсетеді. Жергілікті компактты, бірақ компактты емес топтар үшін бұл құрылым Хаар өлшемін бермейді, себебі компактты қолдауға ие функциялардың орташа мәні нөлге тең. Дегенмен, осыған ұқсас нәрсе топтағы дерлік периодты функциялар үшін жұмыс істейді, себебі олардың орташа мәні бар, бірақ бұл Хаар өлшеміне қатысты емес.
For groups that are locally compact but not compact this construction does not give Haar measure as the mean value of compactly supported functions is zero. However something like this does work for almost periodic functions on the group which do have a mean value, though this is not given with respect to Haar measure.
Ли тобының құрылымы
n өлшемді Лай тобында Haar өлшемін сол жақтан инвариантты n-форма арқылы туындайтын өлшем ретінде оңай құруға болады. Бұл Хаар теоремасынан бұрыннан белгілі еді.
Модульдік функция
Оң жақ Haar өлшемінің сол жаққа ауысуы оң жақ Haar өлшемі болып табылады. Нақтырақ айтқанда, егер μ оң жақ Haar өлшемі болса, онда кез келген топ элементі g үшін,
is also right invariant. Thus, by uniqueness up to a constant scaling factor of the Haar measure, there exists a function from the group to the positive reals, called the Haar modulus, modular function or modular character, such that for every Borel set
Since right Haar measure is well defined up to a positive scaling factor, this equation shows the modular function is independent of the choice of right Haar measure in the above equation. The modular function is a continuous group homomorphism from G to the multiplicative group of positive real numbers. A group is called unimodular if the modular function is identically , or, equivalently, if the Haar measure is both left and right invariant. Examples of unimodular groups are abelian groups, compact groups, discrete groups (e. g., finite groups), semisimple Lie groups and connected nilpotent Lie groups. An example of a non unimodular group is the group of affine transformations
on the real line. This example shows that a solvable Lie group need not be unimodular. In this group a left Haar measure is given by , and a right Haar measure by .
сонымен қатар оң инвариант болады. Осылайша, Haar өлшемінің тұрақты масштабталу коэффициентіне дейін бірегейлігіне сәйкес, топтан оң нақты сандарға дейінгі Haar модулі, модульдік функция немесе модульдік сипаттама деп аталатын функция бар, осылайша кез келген Борель жиыны үшін
is also right invariant. Thus, by uniqueness up to a constant scaling factor of the Haar measure, there exists a function from the group to the positive reals, called the Haar modulus, modular function or modular character, such that for every Borel set
Since right Haar measure is well defined up to a positive scaling factor, this equation shows the modular function is independent of the choice of right Haar measure in the above equation. The modular function is a continuous group homomorphism from G to the multiplicative group of positive real numbers. A group is called unimodular if the modular function is identically , or, equivalently, if the Haar measure is both left and right invariant. Examples of unimodular groups are abelian groups, compact groups, discrete groups (e. g., finite groups), semisimple Lie groups and connected nilpotent Lie groups. An example of a non unimodular group is the group of affine transformations
on the real line. This example shows that a solvable Lie group need not be unimodular. In this group a left Haar measure is given by , and a right Haar measure by .
Оң жақ Haar өлшемі оң масштабталу коэффициентіне дейін жақсы анықталғандықтан, бұл теңдеу модульдік функцияның жоғарыдағы теңдеудегі оң жақ Haar өлшемін таңдаудан тәуелсіз екенін көрсетеді. Модульдік функция – G-ден оң нақты сандардың көбейту тобына дейінгі үздіксіз топ гомоморфизмі. Егер модульдік функция бірдей болса, немесе, эквивалентті түрде, егер Haar өлшемі сол және оң инвариант болса, онда топ унимодульді деп аталады. Унимодульді топтардың мысалдары: абельдік топтар, компактты топтар, дискретті топтар (мысалы, шекті топтар), жартылай қарапайым Lie топтары және байланысқан нилпотентті Lie топтары. Нақты түзудегі аффиндік түрлендірулер тобы унимодульді емес топтың мысалы болып табылады. Бұл мысал шешілмелі Lie тобының міндетті түрде унимодульді болуының қажеті жоқ екенін көрсетеді. Бұл топта сол жақ Haar өлшемі , ал оң жақ Haar өлшемі беріледі .
is also right invariant. Thus, by uniqueness up to a constant scaling factor of the Haar measure, there exists a function from the group to the positive reals, called the Haar modulus, modular function or modular character, such that for every Borel set
Since right Haar measure is well defined up to a positive scaling factor, this equation shows the modular function is independent of the choice of right Haar measure in the above equation. The modular function is a continuous group homomorphism from G to the multiplicative group of positive real numbers. A group is called unimodular if the modular function is identically , or, equivalently, if the Haar measure is both left and right invariant. Examples of unimodular groups are abelian groups, compact groups, discrete groups (e. g., finite groups), semisimple Lie groups and connected nilpotent Lie groups. An example of a non unimodular group is the group of affine transformations
on the real line. This example shows that a solvable Lie group need not be unimodular. In this group a left Haar measure is given by , and a right Haar measure by .
Біртекті кеңістікке қатысты шаралар
Егер жергілікті тығыз топ біртекті кеңістікте транзитивті әрекет етсе, онда бұл кеңістікте инвариантты өлшем бар ма, немесе жалпы алғанда, A-ның кейбір белгісі үшін қасиетіне ие жартылай инвариантты өлшем бар ма деген сұрақ туындайды. Мұндай өлшемнің болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт – шектеуің тең болуы, мұндағы және сәйкесінше және топтарының модульдік функциялары. Атап айтқанда, кеңістігінде инвариантты өлшемнің болуы, -ның кеңістігіне шектелуі -ның модульдік функциясына тең болуымен ғана мүмкін.
Мысал
Егер топ болса және жоғарғы үшбұрышты матрицалардың кіші тобы болса, онда -ның модульдік функциясы тривиалды емес, бірақ -ның модульдік функциясы тривиалды. Бұл екі топтың бөліндісі -ның кез келген мінездемесіне кеңейтілмейді, сондықтан бөлінді кеңістік (оны 1 өлшемді нақты проективтік кеңістік деп қарастыруға болады) тіпті жартылай инвариантты өлшемге де ие емес.
Қолданылуы
Аналь математикасының сол санында және Хаардың мақаласынан кейін, Джон фон Нейман Хаар теоремасын пайдаланып, компакт топтармен шектелген Хилберттің бесінші мәселесін шешті. Таңдау аксиомасын қабылдасақ, өлшенбейтін жиындар теориясына сәйкес, егер дискретті топ болмаса, барлық кіші топтарында саналатын аддитивті сол инвариантты реттеулі өлшемді анықтау мүмкін емес.
Абстрактілі гармониялық талдау
Хаар өлшемдері жергілікті компактты топтардағы гармониялық талдауда, әсіресе Понтрагиннің дуалдылығы теориясында қолданылады. Жергілікті компактты топта Хаар өлшемінің бар екенін дәлелдеу үшін сол жақтан инвариантты Radon өлшемін көрсету жеткілікті.
Математикалық статистика
Математикалық статистикада Haar өлшемдері трансформациялардың компакт топтарының алдын ала ықтималдықтары болып табылатын алдын ала өлшемдер үшін қолданылады. Бұл алдын ала өлшемдер Wald-тың қабылданатын процедураларды Байес процедуралары (немесе Байес процедураларының лимиттері) ретінде сипаттауына сүйене отырып, қабылданатын процедураларды құру үшін пайдаланылады. Мысалы, орналасу параметрі бар үлестірулер отбасы үшін оң Haar өлшемі Питман бағалаушысын береді, ол ең жақсы эквивариантты болып табылады. Сол және оң Haar өлшемдері ерекшеленсе, оң өлшем әдетте алдын ала бөлу ретінде артықшылыққа ие. Нормалды үлестірімнің параметрлік кеңістігіндегі аффиндік трансформациялар тобы үшін оң Haar өлшемі Джеффридің алдын ала өлшемі болып табылады. Алайда, тіпті оң Haar өлшемдері кейде қолдануға жарамсыз алдын ала ықтималдықтарға әкелуі мүмкін, оларды практикалық қолдануға ұсынуға болмайды, субъективті ақпараттан аулақ болатын алдын ала өлшемдерді құрудың басқа әдістері сияқты. Haar өлшемінің статистикадағы тағы бір қолданылуы – шартты қорытындылау, онда статистиканың үлгілік үлестірімі деректердің басқа статистикасына шартты түрде байланысты. Инварианттық теориялық шартты қорытындылауда, үлгілік үлестірім трансформациялар тобының инвариантына шартты түрде байланысты (Haar өлшемі оған қатысты анықталады). Шартты түрде қарастыру нәтижесі кейде инварианттар қолданылу тәртібіне және максималды инвариантты таңдауға байланысты болады, сондықтан инварианттылықтың статистикалық принципі өзіндік ең жақсы шартты статистиканы (бар болса) таңдауға жеткіліксіз; кем дегенде, тағы бір принцип қажет. Компакт емес топтар үшін статистиктер Haar өлшемінің нәтижелерін amenable топтарды қолдану арқылы кеңейтті.
Вейлдің кері теоремасы
1936 жылы Андре Вейль Хаар теоремасына кері теореманы (шартты түрде) дәлелдеді, яғни егер топта белгілі бір ажырату қасиетіне ие сол инвариантты өлшем болса, онда топта топологияны анықтауға болады, ал топтың толықтырылуы жергілікті түрде ықшам болады және берілген өлшем осы толықтырылудағы Хаар өлшемімен сәйкес келеді.