Кіріспе
Кез келген өлшемдегі аудан ұғымы Өлшем теориясында, математиканың бір саласында, француз математигі Анри Лебегтің есімімен аталған Лебег өлшемі – жоғары өлшемді Евклидтік n кеңістіктердің ішкі жиындарына өлшемді тағайындаудың стандартты тәсілі. n = 1, 2 немесе 3 төмен өлшемдері үшін ол ұзындықтың, ауданның немесе көлемнің стандартты өлшемімен сәйкес келеді. Жалпы алғанда, оны n өлшемді көлем, n көлем, гиперкөлем немесе жай ғана көлем деп те атайды. Ол нақты талдаудың барлық салаларында, әсіресе Лебег интеграциясын анықтау үшін қолданылады. Лебег өлшемін алуға болатын жиындар Лебег өлшенетін жиындар деп аталады; Лебег өлшенетін A жиынының өлшемі λ(A) арқылы белгіленеді. Анри Лебег бұл өлшемді 1901 жылы сипаттады, бір жылдан кейін Лебег интегралының сипаттамасымен жалғасты. Екеуі де 1902 жылы оның диссертациясының бір бөлігі ретінде жарияланды. Анықтама Кез келген аралық үшін , немесе , нақты сандар жиынында оның ұзындығын белгілеңіз. Кез келген ішкі жиын үшін Лебегтің сыртқы өлшемі ең төменгі шек ретінде анықталады: Жоғарыдағы анықтама жоғары өлшемдерге төмендегідей жалпыланады. Ашық аралықтардың Декарт көбейтіндісі болып табылатын кез келген тікбұрышты параллелепипед үшін (нақты сандардың көбейтіндісі) оның көлемін белгілеңіз. Кез келген ішкі жиын үшін , Кейбір жиындар Каратеодори критерийін қанағаттандырады, бұл әрбір үшін талап етеді , Каратеодори критерийін қанағаттандыратын жиындар Лебег өлшенетін жиындар деп аталады, оның Лебег өлшемі оның Лебег сыртқы өлшемі ретінде анықталады: Мұндай жиындардың барлығы σ-алгебраны құрайды. Каратеодори критерийін қанағаттандырмайтын жиын Лебег өлшенбейді. ZFC өлшенбейтін жиындардың бар екенін дәлелдейді; мысалы, Витали жиындары. Интуиция Анықтаманың бірінші бөлігінде нақты сандардың ішкі жиыны ашық аралықтардың жиынымен жабылу арқылы оның сыртқы өлшеміне дейін азайтылады. Аралықтардың осы жиындарының әрқайсысы белгілі бір мағынада жабады, өйткені осы аралықтардың бірігуі қамтиды. Кез келген жабу аралықтары жиынының жалпы ұзындығы өлшемді асырып тастауы мүмкін, өйткені ол аралықтардың бірігуінің ішкі жиыны, сондықтан аралықтарда жиынға жатпайтын нүктелер болуы мүмкін. Лебег сыртқы өлшемі барлық мүмкін осындай жиындардың арасындағы ұзындықтың ең төменгі шегі (инфимум) ретінде пайда болады. Интуитивті түрде бұл жиынды ең тығыз жабатын және бір-бірімен қиылыспайтын аралық жиындарының жалпы ұзындығы. Бұл Лебег сыртқы өлшеміне тән. Бұл сыртқы өлшемнің Лебег өлшеміне айналуы қосымша шартқа байланысты. Бұл шарт нақты сандардың ішкі жиынтығын алып, оны екі бөлікке бөлу үшін құрал ретінде пайдаланылады: оның бөлігімен қиылысатын бөлігі және қалған бөлігі жоқ: жиынның айырмасы және Бұл бөліктер сыртқы өлшемге жатады. Егер барлық нақты сандардың осындай ішкі жиындары үшін, бөлінген бөліктердің сыртқы өлшемдерінің қосындысы сыртқы өлшемді құраса , онда Лебег сыртқы өлшемі оның Лебег өлшемін береді. Интуитивті түрде бұл жағдай жиынның басқа жиынның өлшеміне сәйкес келмейтін кейбір ерекше қасиеттері болмауы керек дегенді білдіреді, бұл жиынды "қиып" алу үшін "маска" ретінде пайдаланған кезде, Лебег сыртқы өлшемі Лебег өлшемін бермейтін жиындардың болуына нұсқайды. (Осындай жиындар, шын мәнінде, Лебег өлшенбейді.) Мысалдар Нақты сандардың кез келген жабық аралығы [a, b] Лебег өлшенетін болып табылады, ал оның Лебег өлшемі b - a ұзындығы болып табылады. Ашық аралықтың (a, b) өлшемдері бірдей, өйткені екі жиынның айырмашылығы тек a және b нүктелерінің ғана, олардың әрқайсысының өлшемдері нөлге тең. [a, b] және [c, d] аралықтарының кез келген Декарт көбейтіндісі Лебег өлшенетін болып табылады, ал оның Лебег өлшемі (b − a)(d − c) - сәйкес тіктөртбұрыштың ауданы. Сонымен қатар, әрбір Борел жиыны Лебег өлшенетін болып табылады. Алайда, Лебег өлшенетін, бірақ Борел жиыны емес жиындар бар. Кез келген нақты сандар жиынының Лебег өлшемі 0-ге тең. Әсіресе, алгебралық сандар жиынының Лебег өлшемі 0-ге тең, бірақ бұл жиын тығыз болса да, Лиувилль сандарының жиыны Лебег өлшемі 0-ге ие санаусыз жиынтықтардың мысалы болып табылады. Егер детерминация аксиомасы дұрыс болса, онда барлық нақты сандар жиыны Лебег өлшенетін болады. Дегенмен де, анықтаушылық таңдау аксиомасымен үйлесімсіз. Витали жиындары - Лебег өлшеміне қатысты өлшенбейтін жиындардың мысалы. Олардың өмір сүруі таңдау аксиомасына байланысты. Осгуд қисықтары - оң Лебег өлшеміне ие жай жазық қисықтары (оларды Пеано қисығының құрылымын аз өзгерту арқылы алуға болады). Дракон қисығы да ерекше мысал. , үшін кез келген түзудің Лебег өлшемі нөлге тең. Жалпы алғанда, әрбір дұрыс гипержазықтықтың оның кеңістігінде нөлдік Лебег өлшемі бар. n шардың көлемін Эйлердің гамма-функциясының көмегімен есептеуге болады. Қасиеттері Лебег өлшемі Rn-де келесі қасиеттерге ие: Егер A аралықтардың Декарт көбейтіндісі болса I1 × I2 × ⋯ × In, онда A Лебег өлшенетін болып табылады және Егер A Лебег өлшенетін жиындардың санаулы жиынының жиынтығы болса, онда A өзі Лебег өлшенетін болып табылады және λ(A) осы өлшенетін жиындардың өлшемдерінің қосындысына (немесе шексіз қатарға) тең. Егер A Лебег өлшенетін болса, онда оның толықтырғышы да Лебег өлшенетін болады. λ(A) ≥ 0 кез келген Лебег өлшенетін A жиыны үшін. Егер A және B Лебег өлшенетін болса және A B жиынының ішкі жиыны болса, онда λ(A) ≤ λ(B). (2-нің салдары). Лебег өлшенетін жиындардың санаулы бірігуі және қиылысы Лебег өлшенетін болады. (2 және 3-тің салдары емес, өйткені толықтырғыштар бойынша жабық және санаулы жиындар жиыны санаулы бірігулер бойынша жабық болуы міндетті емес:). Егер A Rn-нің ашық немесе жабық жиыны болса (немесе тіпті Борел жиыны, метрикалық кеңістік қараңыз), онда A Лебег өлшенетін болады. Егер A Лебег өлшенетін жиын болса, онда ол "шамамен ашық" және Лебег өлшемі бойынша "шамамен жабық". Лебег өлшенетін жиынды ашық жиынды қамтитын және жабық жиынды қамтитын арасында "қысып" тастауға болады. Бұл қасиет Лебег өлшенетіндігінің балама анықтамасы ретінде пайдаланылды. Нақтырақ айтқанда, A Лебег өлшенетін болып табылады, егер және әрбір үшін ашық жиын және жабық жиын бар болса, және A Лебег өлшенетін жиынды Gδ жиыны мен Fσ арасында "қысып" тастауға болады. Яғни, егер A Лебег өлшенетін болса, онда Gδ жиыны G және Fσ жиыны F бар, сонда G ⊇ A ⊇ F және λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0. Лебег өлшемі жергілікті шекті және ішкі тұрақты болып табылады, сондықтан ол Радон өлшемі болып табылады. Лебег өлшемі бос емес ашық жиындарда қатаң оң, сондықтан оның қолдауы бүкіл R'''n құрайды. Егер A Лебег өлшенетін жиын болса және λ(A) = 0 (нөлдік жиын), онда A жиынының кез келген ішкі жиыны да нөлдік жиын болады. А fortiori, A жиынының кез келген ішкі жиыны өлшенетін болады. Егер A Лебег өлшенетін болса және x Rn-нің элементі болса, онда A-ның x-ке қатысты аудармасы, A + x = {a + x : a ∈ A} арқылы анықталған, сондай-ақ Лебег өлшенетін болады және A-мен бірдей өлшемге ие болады. Егер A Лебег өлшенетін болса және , онда A-ның масштабталуы , арқылы анықталған, сондай-ақ Лебег өлшенетін болады және өлшемге ие болады. Жалпы, егер T сызықтық түрлендіру болса және A Rn-нің өлшенетін ішкі жиыны болса, онда T(A) сондай-ақ Лебег өлшенетін болады және өлшемге ие болады. Жоғарыдағылардың барлығын төмендегідей жинақтауға болады (бірақ соңғы екі тұжырымдар тривиальды емес түрде келесімен байланысты): Лебег өлшенетін жиындар аралықтардың көбейтінділерін қамтитын σ-алгебраны құрайды және λ'' осы σ-алгебрадағы бірегей толық аударма инвариантты өлшем болып табылады, онда Лебег өлшемі сонымен қатар σ-шекті қасиетке ие.
In measure theory, a branch of mathematics, the Lebesgue measure, named after French mathematician Henri Lebesgue, is the standard way of assigning a measure to subsets of higher dimensional Euclidean n spaces. For lower dimensions n = 1, 2, or 3, it coincides with the standard measure of length, area, or volume. In general, it is also called n dimensional volume, n volume, hypervolume, or simply volume. It is used throughout real analysis, in particular to define Lebesgue integration. Sets that can be assigned a Lebesgue measure are called Lebesgue measurable; the measure of the Lebesgue measurable set A is here denoted by λ(A). Henri Lebesgue described this measure in the year 1901 which, a year after, was followed up by his description of the Lebesgue integral. Both were published as part of his dissertation in 1902. Definition
For any interval , or , in the set of real numbers, let denote its length. For any subset , the Lebesgue outer measure is defined as an infimum
The above definition can be generalised to higher dimensions as follows. For any rectangular cuboid which is a Cartesian product of open intervals, let (a real number product) denote its volume. For any subset ,
Some sets satisfy the Carathéodory criterion, which requires that for every ,
The sets that satisfy the Carathéodory criterion are said to be Lebesgue measurable, with its Lebesgue measure being defined as its Lebesgue outer measure: The set of all such forms a σ algebra. A set that does not satisfy the Carathéodory criterion is not Lebesgue measurable. ZFC proves that non measurable sets do exist; an example is the Vitali sets. Intuition
The first part of the definition states that the subset of the real numbers is reduced to its outer measure by coverage by sets of open intervals. Each of these sets of intervals covers in a sense, since the union of these intervals contains The total length of any covering interval set may overestimate the measure of because is a subset of the union of the intervals, and so the intervals may include points which are not in The Lebesgue outer measure emerges as the greatest lower bound (infimum) of the lengths from among all possible such sets. Intuitively, it is the total length of those interval sets which fit most tightly and do not overlap. That characterizes the Lebesgue outer measure. Whether this outer measure translates to the Lebesgue measure proper depends on an additional condition. This condition is tested by taking subsets of the real numbers using as an instrument to split into two partitions: the part of which intersects with and the remaining part of which is not in : the set difference of and These partitions of are subject to the outer measure. If for all possible such subsets of the real numbers, the partitions of cut apart by have outer measures whose sum is the outer measure of , then the outer Lebesgue measure of gives its Lebesgue measure. Intuitively, this condition means that the set must not have some curious properties which causes a discrepancy in the measure of another set when is used as a "mask" to "clip" that set, hinting at the existence of sets for which the Lebesgue outer measure does not give the Lebesgue measure. (Such sets are, in fact, not Lebesgue measurable.) Examples
Any closed interval [a, b] of real numbers is Lebesgue measurable, and its Lebesgue measure is the length b − a. The open interval (a, b) has the same measure, since the difference between the two sets consists only of the end points a and b, which each have measure zero. Any Cartesian product of intervals [a, b] and [c, d] is Lebesgue measurable, and its Lebesgue measure is (b − a)(d − c), the area of the corresponding rectangle. Moreover, every Borel set is Lebesgue measurable. However, there are Lebesgue measurable sets which are not Borel sets. Any countable set of real numbers has Lebesgue measure 0. In particular, the Lebesgue measure of the set of algebraic numbers is 0, even though the set is dense in The Cantor set and the set of Liouville numbers are examples of uncountable sets that have Lebesgue measure 0. If the axiom of determinacy holds then all sets of reals are Lebesgue measurable. Determinacy is however not compatible with the axiom of choice. Vitali sets are examples of sets that are not measurable with respect to the Lebesgue measure. Their existence relies on the axiom of choice. Osgood curves are simple plane curves with positive Lebesgue measure (it can be obtained by small variation of the Peano curve construction). The dragon curve is another unusual example. Any line in , for , has a zero Lebesgue measure. In general, every proper hyperplane has a zero Lebesgue measure in its ambient space. The volume of an n ball can be calculated in terms of Euler's gamma function. Properties
The Lebesgue measure on Rn has the following properties:
If A is a cartesian product of intervals I1 × I2 × ⋯ × In, then A is Lebesgue measurable and
If A is a disjoint union of countably many disjoint Lebesgue measurable sets, then A is itself Lebesgue measurable and λ(A) is equal to the sum (or infinite series) of the measures of the involved measurable sets. If A is Lebesgue measurable, then so is its complement. λ(A) ≥ 0 for every Lebesgue measurable set A. If A and B are Lebesgue measurable and A is a subset of B, then λ(A) ≤ λ(B). (A consequence of 2.) Countable unions and intersections of Lebesgue measurable sets are Lebesgue measurable. (Not a consequence of 2 and 3, because a family of sets that is closed under complements and disjoint countable unions does not need to be closed under countable unions: .) If A is an open or closed subset of Rn (or even Borel set, see metric space), then A is Lebesgue measurable. If A is a Lebesgue measurable set, then it is "approximately open" and "approximately closed" in the sense of Lebesgue measure. A Lebesgue measurable set can be "squeezed" between a containing open set and a contained closed set. This property has been used as an alternative definition of Lebesgue measurability. More precisely, is Lebesgue measurable if and only if for every there exist an open set and a closed set such that and A Lebesgue measurable set can be "squeezed" between a containing Gδ set and a contained Fσ. I. e, if A is Lebesgue measurable then there exist a Gδ set G and an Fσ F such that G ⊇ A ⊇ F and λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0. Lebesgue measure is both locally finite and inner regular, and so it is a Radon measure. Lebesgue measure is strictly positive on non empty open sets, and so its support is the whole of R'''n. If A is a Lebesgue measurable set with λ(A) = 0 (a null set), then every subset of A is also a null set. A fortiori, every subset of A is measurable. If A is Lebesgue measurable and x is an element of Rn, then the translation of A by x, defined by A + x = {a + x : a ∈ A}, is also Lebesgue measurable and has the same measure as A. If A is Lebesgue measurable and , then the dilation of by defined by is also Lebesgue measurable and has measure
More generally, if T is a linear transformation and A is a measurable subset of R'''n, then T(A) is also Lebesgue measurable and has the measure
All the above may be succinctly summarized as follows (although the last two assertions are non trivially linked to the following):
The Lebesgue measurable sets form a σ algebra containing all products of intervals, and λ'' is the unique complete translation invariant measure on that σ algebra with
The Lebesgue measure also has the property of being σ finite.
Нөлдік жиынтықтар
Rn-нің кіші жиыны нөлдік жиын болып есептеледі, егер кез келген ε > 0 үшін оны санамалы көптеген n интервалдарының көбейтінділерімен жабуға болады, олардың жалпы көлемі ε-дан аспайды. Барлық саналатын жиындар нөлдік жиындар болып табылады. Егер Rn-нің бір кіші жиынының Хаусдорф өлшемі n-ден кем болса, онда ол n өлшемді Лебег өлшеміне қатысты нөлдік жиын болып есептеледі. Мұнда Хаусдорф өлшемі Rn-дегі Евклидтік метрикаға (немесе оған Липшиц теңдестігімен байланысты кез келген метрикаға) қатысты қарастырылады. Екінші жағынан, жиынның топологиялық өлшемі n-ден кем болуы мүмкін, бірақ оның n өлшемді Лебег өлшемі оң болуы да мүмкін. Мұның мысалы – Смит-Волтерра-Кантор жиыны, оның топологиялық өлшемі 0-ге тең, бірақ 1 өлшемді Лебег өлшемі оң. Берілген жиын A-ның Лебег өлшенетінін көрсету үшін, әдетте, A-дан тек нөлдік жиынмен ғана ерекшеленетін "жақсырақ" жиын B табуға тырысады (симметриялық айырмашылық (A − B) ∪ (B − A) нөлдік жиын) және содан кейін B-ні ашық немесе жабық жиындардың санамалы біріктірулері мен қиылыстары арқылы құруға болатынын көрсетеді.
Басқа шаралармен байланысы
Борел өлшемі, оның анықталған жиындары үшін Лебег өлшемімен сәйкес келеді; алайда, Борел өлшеміне қарағанда Лебег өлшеміне ие жиындар көп. Борел өлшемі трансляциялық инвариантты, бірақ толық емес. Haar өлшемі кез келген жергілікті жиынтық топта анықталуы мүмкін және Лебег өлшемінің жалпылама түрі болып табылады (қосылу арқылы Rn жергілікті жиынтық топ болып табылады). Хаусдорф өлшемі – Лебег өлшемінің жалпылама түрі, ол Rn-нің n-ден кіші өлшемді жиынтықтарын өлшеуге пайдалы, мысалы, R3-дегі беттер немесе қисықтар, сондай-ақ фракталды жиындар. Хаусдорф өлшемін Хаусдорф өлшемінің ұғымымен шатастырмау керек. Лебег өлшемінің шексіз өлшемді аналогы жоқ екенін көрсетуге болады.