Введение

Функция отображения

В математике аддитивная функция множества — это функция, отображающая множества в числа, обладающая свойством, что её значение на объединении двух непересекающихся множеств равно сумме её значений на этих множествах, то есть. Если это свойство аддитивности выполняется для любых двух множеств, то оно также выполняется для любого конечного числа множеств, то есть значение функции на объединении k непересекающихся множеств (где k — конечное число) равно сумме её значений на этих множествах. Следовательно, аддитивная функция множества также называется конечно аддитивной функцией множества (термины эквивалентны). Однако конечно аддитивная функция множества может не обладать свойством аддитивности для объединения бесконечного числа множеств. Сигма-аддитивная функция множества — это функция, обладающая свойством аддитивности даже для счётного бесконечного числа множеств, то есть.

Аддитивность и сигма-аддитивность являются особенно важными свойствами мер. Они представляют собой абстракции того, как интуитивно понятные свойства размера (длина, площадь, объём) множества суммируются при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность является более слабым условием, чем сигма-аддитивность; то есть, сигма-аддитивность подразумевает аддитивность. Термин модульная функция множества эквивалентен аддитивной функции множества; см. раздел «Модульность» ниже.

Функции множества с добавлением σ

Предположим, что Σ — σ-алгебра. Если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств из Σ выполняется

то Σ называется счетно-аддитивной или σ-аддитивной. Каждая аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, что показано ниже.

Свойства

К полезным свойствам аддитивной функции множества относятся следующие.

Значение пустого множества

Либо функция φ присваивает всем множествам в своей области значение плюс бесконечность, либо присваивает всем множествам в своей области значение минус бесконечность. Доказательство: аддитивность подразумевает, что для каждого множества A, если μ(A) ≠ 0, то это равенство может быть удовлетворено только плюс или минус бесконечностью.

Монотонность

Если $f$ неотрицательна и $A \subseteq B$, то $f(A) \le f(B)$. То есть, $f$ является монотонной функцией множества. Аналогично, если $f$ неположительна и $A \subseteq B$, то $f(A) \ge f(B)$.

Обобщения

Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, чаще, в векторном пространстве). Для сигма-аддитивности дополнительно требуется, чтобы понятие предела последовательности было определено на этом множестве. Например, спектральные меры являются сигма-аддитивными функциями со значениями в банаховой алгебре. Другой пример, также из квантовой механики, – это мера с положительнозначными операторами.