Кіріспе

Жиын алгебрасының алгебралық құрылымы – белгілі бір операциялар жинағы Σ қабылдайтын алгебралық құрылым.

Математикалық талдау және ықтималдық теориясында, X жиынындағы σ алгебрасы (немесе σ өрісі) – X жиынының толықтыру, саналатын біріктірулер және саналатын қиылыстар бойынша жабық кіші жиындарының бос емес жиыны. Реттелген жұп өлшенетін кеңістік деп аталады. Кіші жиындардың σ алгебрасы – кіші жиындардың алгебрасы; соңғысының элементтеріне тек шекті сандағы кіші жиындардың бірігуі немесе қиылысуы кезінде жабылу қажет, бұл нашаррақ шарт. σ алгебрасының негізгі қолданылуы – өлшемдерді анықтау; атап айтқанда, белгілі бір өлшем анықталған кіші жиындар жиыны міндетті түрде σ алгебрасы болып табылады. Бұл ұғым математикалық талдауда Лебег интеграциясының негізі ретінде және ықтималдық теориясында, онда ол ықтималдықтарды тағайындауға болатын оқиғалар жиыны ретінде түсіндіріледі, маңызды. Сондай-ақ, ықтималдықта σ алгебрасы шартты күтуді анықтауда шешуші рөл атқарады. Статистикада (кіші) σ алгебрасы жеткілікті статистиканың формалды математикалық анықтамасы үшін қажет, әсіресе статистикалық функция немесе кездейсоқ процесс болғанда және шартты тығыздық ұғымы қолданылмайды. Егер σ алгебрасы болса, онда бос жиын да болады. Жалпы, шекті алгебра әрқашан σ алгебрасы болып табылады. Егер X жиынының саналатын бөлінісі болса, онда бөлістің барлық біріктірулерінің (бос жиынды қоса алғанда) жиыны σ алгебрасы болып табылады. Көбірек пайдалы мысал – нақты сызықтың барлық ашық аралықтарынан басталып, барлық саналатын біріктірулерді, саналатын қиылыстарды және салыстырмалы толықтыруларды қосып, осы процесті жалғастыру (барлық саналатын ординалдар арқылы трансфинитті итерация арқылы) тиісті жабылу қасиеттеріне қол жеткізілгенге дейін құрастырылатын (Борель иерархиясы деп аталатын құрылым).

Мотивация

σ алгебраның кем дегенде үш маңызды себебі бар: өлшемдерді анықтау, жиынтардың лимиттерін қолдану және жиынтармен сипатталатын толық емес ақпаратты басқару.

Іс-қимыл

Өлшем – бұл жиынның ішкі жиындарына теріс емес нақты санды тағайындайтын функция, оны жиындардың "өлшемі" немесе "көлемі" ұғымын нақтылау деп қарастыруға болады. Бізге жиындардың бірігімінің өлшемі, егер олар бөлек болса, олардың жеке өлшемдерінің қосындысына тең болуы керек, тіпті бөлек жиындардың шексіз тізбегі үшін де. Жиынның кез келген ішкі жиынына өлшем тағайындауды қалаймыз, бірақ көптеген жағдайларда бұл мүмкін емес. Мысалы, таңдау аксиомасы бойынша, егер қарастырылып отырған өлшем нақты түзудің ішкі жиындарының ұзындығы болса, онда өлшемі жоқ жиындар бар, мысалы, Витали жиындары. Сондықтан, біз жиынның ерекше ішкі жиындарының кішірек жиынын қарастырамыз. Бұл ішкі жиындарды өлшенетін жиындар деп атаймыз. Олар өлшенетін жиындар үшін күтілетін операциялар бойынша жабық, яғни өлшенетін жиынның толықтығы өлшенетін жиын болып табылады және өлшенетін жиындардың санаулы бірігімі өлшенетін жиын болып табылады. Осы қасиеттері бар бос емес жиындар σ-алгебралар деп аталады.

σ-сақинаға қатынасы

σ алгебрасы – бұл универсалды жиынтықты қамтитын σ сақинасы. σ сақинасы міндетті түрде σ алгебрасы болуы керек емес, мысалы, нақты сызықтағы нөлдік Лебег өлшеміне ие өлшенетін кіші жиынтықтар σ сақинасы болып табылады, бірақ σ алгебрасы емес, себебі нақты сызықтың өлшемі шексіз, демек оны олардың саналатын біріктіруі арқылы алу мүмкін емес. Егер нөлдік өлшемнің орнына шекті Лебег өлшеміне ие өлшенетін кіші жиынтықтарды алсақ, олар сақина, бірақ σ сақина емес, себебі нақты сызықты олардың саналатын біріктіруі арқылы алуға болады, бірақ оның өлшемі шекті емес.

Типографиялық жазба

σ алгебралар кейде каллиграфиялық бас әріптермен немесе Фратур шрифтімен белгіленеді. Сондықтан немесе деп белгіленуі мүмкін.

Бөлінетін σ-алгебралар

Бөлінетін алгебра (немесе бөлінетін өріс) – бұл метрикалық кеңістік ретінде қарастырылғанда бөлінетін кеңістік болатын алгебра. Жинақтардың саналатын жиынтығымен жасалған кез келген алгебра бөлінетін болады, бірақ керісіне дұрыс болмауы мүмкін. Мысалы, Лебег алгебрасы бөлінетін (әрбір Лебег өлшенетін жиыны кейбір Борель жиынымен эквивалентті), бірақ саналатын түрде туындатылмайды (оның кардиналдылығы континуумнан жоғары болғандықтан). Бөлінетін өлшем кеңістігінде табиғи псевдометрика болады, ол оны псевдометрикалық кеңістік ретінде бөлінетін етеді. Екі жиын арасындағы қашықтық екі жиынның симметриялық айырмасының өлшемі арқылы анықталады. Екі әртүрлі жиынның симметриялық айырмасы нөлдік өлшемге ие болуы мүмкін; сондықтан жоғарыда анықталған псевдометрика нақты метрика болуы міндетті емес. Дегенмен, егер симметриялық айырмасы нөлдік өлшемді жиындар бір эквиваленттілік класына теңестірілсе, нәтижедегі бөліктік жиынтықты туындаған метрика арқылы дұрыс метрикалық етуге болады. Егер өлшем кеңістігі бөлінетін болса, сәйкес метрикалық кеңістік те бөлінетінін көрсетуге болады.

Борел және Лебег σ-алгебралары

Маңызды мысал — кез келген топологиялық кеңістіктегі Борел алгебрасы: ашық жиынтықтар (немесе, балама ретінде, жабық жиынтықтар) арқылы туындайтын σ-алгебра. Бұл σ-алгебра, әдетте, толық қуат жиынтығы емес. Борел жиынтығы емес тривиальды емес мысал үшін Витали жиынтығын немесе Борел емес жиынтықтарды қараңыз. Евклид кеңістігінде тағы бір маңызды σ-алгебра бар: Лебег өлшенетін барлық жиынтықтардың σ-алгебрасы. Бұл σ-алгебра Борел σ-алгебрасынан көбірек жиынтықтарды қамтиды және интеграл есептеу теориясында артықшылыққа ие, себебі ол толық өлшем кеңістігін қамтамасыз етеді.

σ-алгебраның көбейтіндісі

Let және өлшенетін екі кеңістік болсын. Сәйкес келетін өнім кеңістігінің σ-алгебрасы өнім σ-алгебрасы деп аталады және былай анықталады:

байқаңыз, π-жүйе болып табылады. π-жүйе болып табылады. Borel σ-алгебрасы жартылай шексіз тіктөртбұрыштармен және шекті тіктөртбұрыштармен туындайды. Мысалы,

осы екі мысалдың әрқайсысы үшін туынды отбасы π-жүйе болып табылады.

σ-шарлы алгебра

σ шар алгебрасы – барлық ашық (және/немесе жабық) шарларды қамтитын ең кіші σ алгебра. Бұл Борел σ алгебрасынан ешқашан үлкен болмайды. Ажыратылатын кеңістіктер үшін екі σ алгебра да тең болады. Кейбір ажыратылмайтын кеңістіктер үшін кейбір функциялар Борел өлшенбесе де, шар бойынша өлшенуі мүмкін, сондықтан σ шар алгебрасы мұндай функцияларды талдау үшін пайдалы.

Кездейсоқ айнымалы немесе вектор арқылы құрылған σ-алгебра

Мүмкіндік кеңістігі болсын. Егер Бorel σ-алгебрасына қатысты өлшенетін болса, онда ол кездейсоқ айнымалы немесе кездейсоқ вектор деп аталады. -ның тудыратын σ-алгебрасы – .

С-алгебраны стохастикалық процесспен жасау

Егер (Омега) ықтималдық кеңістік болса және F – (Омега) жиынындағы нақты мәнді функциялар жиынтығы болса, егер F цилиндрлік σ-алгебраға қатысты өлшенетін болса (жоғарыда қараңыз), онда бұл стохастикалық процесс немесе кездейсоқ процесс деп аталады. F-пен туындаған σ-алгебра – цилиндрлік жиындардың кері бейнелерімен туындаған σ-алгебра болып табылады.