Кіріспе
Белгілі сандық өрістердің сыныптық тобындағы нәтиже, Эрнст Кумер теоремасын күшейту. Математикада Гербранд-Рибет теоремасы белгілі сандық өрістердің сыныптық тобына қатысты нәтиже болып табылады. Бұл Эрнст Кумер теоремасын күшейтеді, яғни p саны p-ші бірлік түбірінің циклотомиялық өрісінің сынып санын бөледі, егер және тек егер p саны 0 < n < p − 1 шартындағы n-ші Бернулли санының Bn-нің бөлімі болса. Гербранд-Рибет теоремасы, атап айтқанда, p осындай Bn-ді бөлгенде нені білдіретінін нақтылайды.
In mathematics, the Herbrand–Ribet theorem is a result on the class group of certain number fields. It is a strengthening of Ernst Kummer's theorem to the effect that the prime p divides the class number of the cyclotomic field of p th roots of unity if and only if p divides the numerator of the n th Bernoulli number Bn
for some n, 0 < n < p − 1. The Herbrand–Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn.
Айтылым
Галуа тобы Δ, p-інші бірлік түбірлерінің циклотомиялық өрісі үшін, тақ қарапайым сан p, Q(ζ), ζp = 1 үшін, p − 1 топ элементтері σa-дан тұрады. Ферманың кішкентай теоремасының салдары ретінде, p-адық бүтін сандар сақинасында p − 1 бірлік түбірі бар, олардың әрқайсысы 1 мен p − 1 аралығындағы қандай да бір санға модульдік сәйкес келеді; сондықтан, p-ге жақын санға n үшін, ω(n) н-ді p модулі бойынша сәйкес келетін мәндермен Дирихлет белгісін ω (Тейхмюллер белгісі) анықтауға болады. Сынып тобының p бөлігі модуль болып табылады (өйткені ол p-негізді), демек, топ сақинасы бойынша модуль. Енді біз топ сақинасының n-ге 1-ден p − 1-ге дейінгі әрбір саны үшін идемпотент элементтерін анықтаймыз, яғни:
Оңай көруге болады, мұнда δa,b – Кронекер дельтасы. Бұл бізге Q(ζ) идеалдық сынып тобының p бөлігін идемпотенттер арқылы бөлуге мүмкіндік береді; егер G идеалдық сынып тобының p-негізді бөлігі болса, онда Gn = εn(G) және бізде бар. Гербранд-Рибет теоремасы бойынша, тақ n үшін Gn тривиалды емес, егер және тек қана p Бернулли саны Bp−n-ді бөлсе. Теорема n-нің жұп мәндері туралы ешқандай мәлімдеме жасамайды, бірақ Gn кез келген жұп n үшін тривиалды емес екенін көрсететін p белгілі емес: барлық p үшін тривиалды болу Вандивердің болжамының салдары болар еді.
The Herbrand–Ribet theorem states that for odd n, Gn is nontrivial if and only if p divides the Bernoulli number Bp−n. The theorem makes no assertion about even values of n, but there is no known p for which Gn is nontrivial for any even n: triviality for all p would be a consequence of Vandiver's conjecture.
Дәлелдендіру
Жак Гербрандқа қарыздылық бойынша, Gn тривиалды болмаса, p Бp−n-ді бөледі деген тұжырым келтірілген. Керісінше, егер p Бp−n-ді бөлесе, онда Gn тривиалды емес деген тұжырым Кеннет Рибетке тиесілі және ол айтарлықтай қиын. Сыныптық өріс теориясы бойынша, мұндай жағдай тек қана p-шы бірлік түбірінің өрісін, Σ әрекетімен белгіленгендей, p дәрежелі циклдік кеңейтумен кеңейту арқылы ғана мүмкін болады; Рибет модульдік формалар теориясының әдістерін қолданып, осындай кеңейтуді құру арқылы оны дәлелдейді. Рибеттің Гербранд теоремасына кері тұжырымының, Эйлер жүйелері теориясының салдары ретінде, қарапайым түсіндірмесін Вашингтонның кітабынан табуға болады.
Жалпылау
Рибеттің әдістері Барри Мазур мен Эндрю Уайлс тарапынан Ивасава теориясының негізгі болжамын дәлелдеу мақсатымен одан әрі дамытылды, оның салдары Гербранд-Рибе теоремасының күшейтілген түрі болып табылады: p-нің Bp−n-ді бөлетін дәрежесі, дәл Gn-нің ретін бөлетін p-нің дәрежесімен тең.