Введение
Результат о классовой группе определенных числовых полей, усиливающий теорему Эрнста Куммера. В математике теорема Гербранда — Рибета — это результат о классовой группе определенных числовых полей. Она является усилением теоремы Эрнста Куммера, утверждающей, что простое число p делит число класса циклотомического поля p-х корней из единицы тогда и только тогда, когда p делит числитель n-го числа Бернулли Bn для некоторого n, 0 < n < p − 1. Теорема Гербранда — Рибета уточняет, что именно означает, когда p делит такое Bn.
In mathematics, the Herbrand–Ribet theorem is a result on the class group of certain number fields. It is a strengthening of Ernst Kummer's theorem to the effect that the prime p divides the class number of the cyclotomic field of p th roots of unity if and only if p divides the numerator of the n th Bernoulli number Bn
for some n, 0 < n < p − 1. The Herbrand–Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn.
Заявление
Группа Галуа Δ циклотомического поля p-го корня из единицы для нечетного простого числа p, Q(ζ) с ζp = 1, состоит из p − 1 групповых элементов σa, где a пробегает значения от 0 до p − 2. Вследствие малой теоремы Ферма, в кольце p-адических целых чисел у нас есть p − 1 корней из единицы, каждый из которых сравнимо по модулю p с некоторым числом в диапазоне от 1 до p − 1; следовательно, мы можем определить символ Дирихле ω (символ Тейхмюллера) со значениями в Z/pZ, требуя, чтобы для n, взаимно простого с p, ω(n) было сравнимо с n по модулю p. p-часть группы классов является модулем (поскольку она p-первична), следовательно, модулем над групповым кольцом Z[Δ]. Теперь мы определяем идемпотентные элементы группового кольца для каждого n от 1 до p − 1, как
Легко видеть, что и , где δ – символ Кронекера. Это позволяет нам разложить p-часть группы классов идеалов G поля Q(ζ) с помощью идемпотентов; если G является p-первичной частью группы классов идеалов, то, обозначив Gn = εn(G), мы имеем
Теорема Гербранда — Рибета утверждает, что для нечетного n, Gn нетривиальна тогда и только тогда, когда p делит число Бернулли Bp−n. Теорема не делает никаких утверждений о четных значениях n, но неизвестно ни одного p, для которого Gn нетривиальна для какого-либо четного n: тривиальность для всех p была бы следствием гипотезы Вандивера.
The Herbrand–Ribet theorem states that for odd n, Gn is nontrivial if and only if p divides the Bernoulli number Bp−n. The theorem makes no assertion about even values of n, but there is no known p for which Gn is nontrivial for any even n: triviality for all p would be a consequence of Vandiver's conjecture.
Доказательства
Часть утверждения о том, что p делит Bp−n, если Gn нетривиальна, принадлежит Жаку Гербранду. Обратное утверждение, что если p делит Bp−n, то Gn нетривиальна, установлено Кеннетом Рибетом и значительно сложнее. Согласно теории классовых полей, это возможно только в случае существования неразветвленного расширения поля p-го корня из единицы циклическим расширением степени p, которое ведет себя заданным образом под действием Σ; Рибе доказывает это, фактически построив такое расширение, используя методы теории модулярных форм. Более элементарное доказательство обратного к теореме Гербранда утверждения Рибета, являющееся следствием теории систем Эйлера, можно найти в книге Вашингтона.
Обобщения
Методы Рибета были далее развиты Барри Мазуром и Эндрю Уайлсом для доказательства основной гипотезы теории Ивасавы, одним из следствий которой является усиление теоремы Гербранда — Рибета: степень p, на которую делится Bp−n, точно равна степени p, на которую делится порядок группы Gn.