Кіріспе
Кумер теориясына әкелетін даланың циклдік кеңейтулеріндегі Кумерге байланысты нәтиже. Абстракт алгебрада Гильберттің 90 теоремасы (немесе Сац 90) – бұл даланың циклдік кеңейтулеріндегі (немесе оның біріне жасалған жалпылаудағы) маңызды нәтиже, ол Кумер теориясына әкеледі. Оның ең қарапайым түрінде, егер L/K даласының кеңейтуі болса және оның Галуа тобы G = Gal(L/K) бір элементпен құрылған циклдік болса, және егер L-дің салыстырмалы нормасы 1-ге тең элемент болса, онда L-дегі бір элемент бар, яғни . Теорема атын Дэвид Гильберттің "Zahlbericht" еңбегіндегі 90-шы теорема болғандықтан алған, бірақ бұл нәтиже бастапқыда басқа ғалымға тиесілі. Көбінесе, жалпырақ теорема, яғни егер L/K даласының шекті Галуа кеңейтуі болса және оның Галуа тобы G = Gal(L/K) кез келген болса, онда L-дің мультипликативтік тобындағы коэффициенттері бар G-нің бірінші когомология тобы тривиальды болады: .
In abstract algebra, Hilbert's Theorem 90 (or Satz 90) is an important result on cyclic extensions of fields (or to one of its generalizations) that leads to Kummer theory. In its most basic form, it states that if L/K is an extension of fields with cyclic Galois group G = Gal(L/K) generated by an element and if is an element of L of relative norm 1, that isthen there exists in L such thatThe theorem takes its name from the fact that it is the 90th theorem in David Hilbert's Zahlbericht , although it is originally due to
Often a more general theorem due to is given the name, stating that if L/K is a finite Galois extension of fields with arbitrary Galois group G = Gal(L/K), then the first cohomology group of G, with coefficients in the multiplicative group of L, is trivial:
Мысалдар
Квадраттық кеңею болсын. Галуа тобы 2 реттік циклдік, оның генераторы конъюгация арқылы әрекет етеді:
An element in has norm An element of norm one thus corresponds to a rational solution of the equation or in other words, a point with rational coordinates on the unit circle. Hilbert's Theorem 90 then states that every such element a of norm one can be written as
where is as in the conclusion of the theorem, and c and d are both integers. This may be viewed as a rational parametrization of the rational points on the unit circle. Rational points on the unit circle correspond to Pythagorean triples, i. e. triples of integers satisfying .
-дағы элементінің нормасы бар. Нормасы бірге тең элемент, осылайша, теңдеудің рационалды шешіміне сәйкес келеді, яғни бірлік шеңберіндегі рационалды координаттары бар нүктеге. Гильберттің 90-теоремасы, содан кейін, нормасы бірге тең кез келген элементі a теорема қорытындысында көрсетілгендей жазылуы мүмкін, мұнда c және d – екеуі де бүтін сандар. Бұл бірлік шеңберіндегі рационалды нүктелердің рационалды параметрленуі ретінде қарастырылуы мүмкін. Бірлік шеңберіндегі рационалды нүктелер Пифагор үштігіне сәйкес келеді, яғни, бүтін сандардан тұратын үштіктер шартын қанағаттандырады.
An element in has norm An element of norm one thus corresponds to a rational solution of the equation or in other words, a point with rational coordinates on the unit circle. Hilbert's Theorem 90 then states that every such element a of norm one can be written as
where is as in the conclusion of the theorem, and c and d are both integers. This may be viewed as a rational parametrization of the rational points on the unit circle. Rational points on the unit circle correspond to Pythagorean triples, i. e. triples of integers satisfying .