Введение
Результат, полученный Куммером при исследовании циклических расширений полей, который приводит к теории Куммера. В абстрактной алгебре теорема Гильберта 90 (или Satz 90) является важным результатом о циклических расширениях полей (или об одном из их обобщений), который приводит к теории Куммера. В своей наиболее простой формулировке она утверждает, что если L/K – расширение полей с циклической группой Галуа G = Gal(L/K), порожденной элементом α, и если элемент x принадлежит L и имеет относительную норму 1, то существует элемент y в L такой, что x = yα⁻¹. Теорема получила свое название от того, что она является девяностой теоремой в «Zahlbericht» Давида Гильберта, хотя первоначально она была доказана Куммером. Часто под именем теоремы Гильберта 90 понимают более общую теорему, утверждающую, что если L/K – конечное расширение полей Галуа с произвольной группой Галуа G = Gal(L/K), то первая группа когомологий G с коэффициентами в мультипликативной группе L тривиальна.
In abstract algebra, Hilbert's Theorem 90 (or Satz 90) is an important result on cyclic extensions of fields (or to one of its generalizations) that leads to Kummer theory. In its most basic form, it states that if L/K is an extension of fields with cyclic Galois group G = Gal(L/K) generated by an element and if is an element of L of relative norm 1, that isthen there exists in L such thatThe theorem takes its name from the fact that it is the 90th theorem in David Hilbert's Zahlbericht , although it is originally due to
Often a more general theorem due to is given the name, stating that if L/K is a finite Galois extension of fields with arbitrary Galois group G = Gal(L/K), then the first cohomology group of G, with coefficients in the multiplicative group of L, is trivial:
Примеры
Пусть будет квадратичным расширением. Группа Галуа циклична порядка 2, ее генератор действует посредством сопряжения: элемент в имеет норму. Элемент нормы один, таким образом, соответствует рациональному решению уравнения или, иными словами, точке с рациональными координатами на единичной окружности. Теорема Гильберта 90 утверждает, что каждый такой элемент *a* нормы 1 может быть записан как , где, как в заключении теоремы, а *c* и *d* – оба целые числа. Это можно рассматривать как рациональную параметризацию рациональных точек на единичной окружности. Рациональные точки на единичной окружности соответствуют пифагоровым тройкам, то есть тройкам целых чисел, удовлетворяющим .
An element in has norm An element of norm one thus corresponds to a rational solution of the equation or in other words, a point with rational coordinates on the unit circle. Hilbert's Theorem 90 then states that every such element a of norm one can be written as
where is as in the conclusion of the theorem, and c and d are both integers. This may be viewed as a rational parametrization of the rational points on the unit circle. Rational points on the unit circle correspond to Pythagorean triples, i. e. triples of integers satisfying .