Кіріспе
Эллиптік қисық сызықтағы нүктелер санын шекті өріс бойынша бағалайды. Эллиптік қисықтар туралы Хассе теоремасы, сондай-ақ Хассе шегі деп аталады, шекті өріс бойынша эллиптік қисық сызықтағы нүктелер санын жоғары және төмен шектейтін бағалауды ұсынады. Егер N – q элементі бар шекті өріс бойынша эллиптік қисық E-нің нүктелерінің саны болса, онда Хассе нәтижесі былай тұжырымдайды:
Hasse's theorem on elliptic curves, also referred to as the Hasse bound, provides an estimate of the number of points on an elliptic curve over a finite field, bounding the value both above and below. If N is the number of points on the elliptic curve E over a finite field with q elements, then Hasse's result states that
The reason is that N differs from q + 1, the number of points of the projective line over the same field, by an 'error term' that is the sum of two complex numbers, each of absolute value
This result had originally been conjectured by Emil Artin in his thesis. It was proven by Hasse in 1933, with the proof published in a series of papers in 1936. Hasse's theorem is equivalent to the determination of the absolute value of the roots of the local zeta function of E. In this form it can be seen to be the analogue of the Riemann hypothesis for the function field associated with the elliptic curve.
Себебі N, сол өріс бойынша проекциялық түзудің нүктелерінің саны – q + 1-ден, абсолюттік шамасы бар екі комплекс санның қосындысынан тұратын 'қателік мүшесімен' ерекшеленеді. Бұл нәтиже бастапқыда Эмиль Артиннің диссертациясында болжамдалған. Оны 1933 жылы Хассе дәлелдеді, ал дәлелдеме 1936 жылы бірнеше мақалада жарияланды. Хассе теоремасы E-нің жергілікті дзета-функциясының түбірлерінің абсолюттік мәнін анықтаумен эквивалентті. Осы формада ол эллиптік қисықпен байланысты функциялық өріс үшін Риман гипотезасының аналогы болып табылады.
Hasse's theorem on elliptic curves, also referred to as the Hasse bound, provides an estimate of the number of points on an elliptic curve over a finite field, bounding the value both above and below. If N is the number of points on the elliptic curve E over a finite field with q elements, then Hasse's result states that
The reason is that N differs from q + 1, the number of points of the projective line over the same field, by an 'error term' that is the sum of two complex numbers, each of absolute value
This result had originally been conjectured by Emil Artin in his thesis. It was proven by Hasse in 1933, with the proof published in a series of papers in 1936. Hasse's theorem is equivalent to the determination of the absolute value of the roots of the local zeta function of E. In this form it can be seen to be the analogue of the Riemann hypothesis for the function field associated with the elliptic curve.
Хассе-Вейл байланысы
Жоғары туысты алгебралық қисықтарға Хассе шегінің жалпылауы – Хассе-Вейль шегі. Бұл шекті өріс үстіндегі қисықтағы нүктелер санын шектейді. Егер q реттік шекті өрісте g туысты C қисығындағы нүктелер саны болса, онда бұл нәтиже C қисығының жергілікті дзета-функциясының түбірлерінің абсолюттік мәнін анықтауға тең келеді және қисықпен байланысты функциялық өріс үшін Риман гипотезасының аналогы болып табылады. Хассе-Вейль шегі эллиптік қисықтарға қолданылғанда, g=1 туысына ие болғанда әдеттегі Хассе шегіне дейін тоғады. Хассе-Вейль шегі – Андре Вейльдің 1949 жылы ұсынған және қисықтар жағдайында Андре Вейль дәлелдеген Вейль болжамдарының салдары.
This result is again equivalent to the determination of the absolute value of the roots of the local zeta function of C, and is the analogue of the Riemann hypothesis for the function field associated with the curve. The Hasse–Weil bound reduces to the usual Hasse bound when applied to elliptic curves, which have genus g=1. The Hasse–Weil bound is a consequence of the Weil conjectures, originally proposed by André Weil in 1949 and proved by André Weil in the case of curves.