Введение
Оценивает количество точек на эллиптической кривой над конечным полем. Теорема Хассе об эллиптических кривых, также известная как граница Хассе, предоставляет оценку количества точек на эллиптической кривой над конечным полем, ограничивая значение сверху и снизу. Если N – количество точек на эллиптической кривой E над конечным полем с q элементами, то результат Хассе утверждает, что N отличается от q + 1, количества точек проективной прямой над тем же полем, на величину "погрешности", которая является суммой двух комплексных чисел, каждое из которых имеет абсолютную величину. Изначально этот результат был предложен Эмилем Артином в его диссертации. Он был доказан Хассе в 1933 году, а доказательство было опубликовано в серии статей в 1936 году. Теорема Хассе эквивалентна определению абсолютной величины корней локальной дзета-функции E. В этой форме она может рассматриваться как аналог гипотезы Римана для поля функций, связанного с эллиптической кривой.
Hasse's theorem on elliptic curves, also referred to as the Hasse bound, provides an estimate of the number of points on an elliptic curve over a finite field, bounding the value both above and below. If N is the number of points on the elliptic curve E over a finite field with q elements, then Hasse's result states that
The reason is that N differs from q + 1, the number of points of the projective line over the same field, by an 'error term' that is the sum of two complex numbers, each of absolute value
This result had originally been conjectured by Emil Artin in his thesis. It was proven by Hasse in 1933, with the proof published in a series of papers in 1936. Hasse's theorem is equivalent to the determination of the absolute value of the roots of the local zeta function of E. In this form it can be seen to be the analogue of the Riemann hypothesis for the function field associated with the elliptic curve.
Хассе-Вейл Боунд
Обобщением оценки Хассе для алгебраических кривых высшего рода является оценка Хассе — Вейля. Она предоставляет ограничение на число точек на кривой над конечным полем. Если число точек на кривой C рода g над конечным полем порядка q равно , то
Этот результат снова эквивалентен определению абсолютной величины корней локальной дзета-функции C и является аналогом гипотезы Римана для поля функций, связанного с кривой. Оценка Хассе — Вейля переходит в обычную оценку Хассе при применении к эллиптическим кривым, которые имеют род g = 1. Оценка Хассе — Вейля является следствием гипотез Вейля, первоначально предложенных Андре Вейлем в 1949 году и доказанных Андре Вейлем для случая кривых.