Кіріспе

Сандар өрісіндегі екі квадраттық форма теңдес, егер және тек егер олар барлық жергілікті жағдайларда теңдес болса.

Хассе-Минковский теоремасы – сандар теориясындағы маңызды нәтиже. Оған сәйкес, сандар өрісіндегі екі квадраттық форма теңдес, егер және тек егер олар өрістің барлық аяқталуларында (нақты, кешенді немесе p-адилік) жергілікті түрде теңдес болса. Бұған байланысты, сандар өрісіндегі квадраттық кеңістік изотропты болады, егер және тек егер ол барлық жергілікті жағдайларда изотропты болса, немесе, баламалы түрде, сандар өрісіндегі квадраттық форма нөлді білдіретін болса, онда бұл өрістің барлық аяқталулары үшін орындалуы керек. Бұл теореманы Герман Минковский рационал сандар өрісі үшін дәлелдеген, ал Гельмут Хассе оны сандар өрістеріне жалпылаған. Бұл тұжырым барлық жаһандық өрістер үшін де қолданылады.

Маңыздылық

Хассе-Минковский теоремасының маңыздылығы арифметикалық сұрақтарға жауап беруге жаңа көзқарас ұсынғандығында. Белгілі бір типтегі теңдеудің рационал сандарда шешімі бар-жоғын анықтау үшін, оның толық нақты және p-адық сандар өрістерінде шешімі бар-жоғын тексеру жеткілікті. Мұнда Ньютон әдісі және оның p-адық аналогы – Хенсел леммасы сияқты аналитикалық әдістер қолданылады. Бұл идея жергілікті-жаһандық принципте біріктірілген, ол арифметикалық геометрияның ең негізгі техникаларының бірі болып табылады.

Квадраттық формаларды жіктеуде қолдану

Хассе-Минковский теоремасы сандық өріс K-дегі квадраттық формаларды жіктеу мәселесін жергілікті өрістердегі ұқсас, бірақ әлдеқайда қарапайым сұрақтар жиынтығына келтіреді. Сингуляр емес квадраттық форманың негізгі инварианттары – оның өлшемі, яғни оң бүтін сан, және K-дегі квадраттарға қатысты дискриминанты, ол K*/K*2 көбейту тобының елесі болып табылады. Сонымен қатар, K-нің әрбір v орны үшін Kv толықтығынан туындайтын инвариант бар. v таңдауына байланысты, бұл толықтыру нақты сандар R, кешенді сандар C немесе p-адық сандар өрісі болуы мүмкін, олардың әрқайсысы әртүрлі инварианттарға ие: R жағдайы. Сильвестрдің инерция заңы бойынша, қолтаңба (немесе, балама ретінде, инерцияның теріс индексі) толық инвариант болып табылады. C жағдайы. Бірдей өлшемдегі барлық сингуляр емес квадраттық формалар эквивалентті. Qp және оның алгебралық кеңейтімдері жағдайы. Бірдей өлшемдегі формалар олардың Хассе инварианты бойынша эквиваленттілікке дейін жіктеледі. Бұл инварианттар үйлесімділік шарттарын орындауы керек: паритет қатынасы (дискриминанттың таңбасы инерцияның теріс индексімен сәйкес болуы керек) және көбейту формуласы (жергілікті-жаһандық қатынас). Керісінше, осы қатынастарды орындаушы инварианттардың кез келген жиыны үшін K-де осы инварианттарға ие квадраттық форма бар.