Введение

Две квадратные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально.

Теорема Хассе — Минковского является фундаментальным результатом в теории чисел, утверждающим, что две квадратные формы над числовым полем эквивалентны, если и только если они эквивалентны локально во всех местах, то есть эквивалентны по каждому завершению поля (которое может быть вещественным, комплексным или p-адическим). Связанный результат состоит в том, что квадратное пространство над числовым полем изотропно тогда и только тогда, когда оно изотропно локально во всех местах, или, эквивалентно, что квадратная форма над числовым полем нетривиально представляет ноль, если и только если это верно для всех завершений поля. Теорема была доказана в случае поля рациональных чисел Германом Минковским и обобщена на числовые поля Гельмутом Хассе. То же утверждение справедливо в еще более общем виде для всех глобальных полей.

Важность

Важность теоремы Хассе — Минковского заключается в новой парадигме, которую она предложила для решения арифметических задач: чтобы определить, имеет ли уравнение определенного типа решение в рациональных числах, достаточно проверить, имеет ли оно решения в полных полях вещественных и p-адических чисел, где применимы аналитические методы, такие как метод Ньютона и его p-адический аналог, лемма Хенселя. Это воплощается в идее локально-глобального принципа, являющегося одним из фундаментальнейших инструментов в арифметической геометрии.

Применение к классификации квадратных форм

Теорема Хассе–Минковского сводит проблему классификации квадратичных форм над числовым полем K с точностью до эквивалентности к множеству аналогичных, но гораздо более простых вопросов над локальными полями. Основными инвариантами невырожденной квадратичной формы являются её размерность, которая является положительным целым числом, и её дискриминант по модулю квадратов в K, являющийся элементом мультипликативной группы K*/K*2. Кроме того, для каждого места v поля K существует инвариант, происходящий из завершения Kv. В зависимости от выбора v, этим завершением могут быть вещественные числа R, комплексные числа C или p-адическое числовое поле, каждое из которых имеет различные типы инвариантов:
Случай R. По закону инерции Сильвестра, сигнатура (или, альтернативно, отрицательный индекс инерции) является полным инвариантом. Случай C. Все невырожденные квадратичные формы одной и той же размерности эквивалентны. Случай Qp и его алгебраических расширений. Формы одной и той же размерности классифицируются с точностью до эквивалентности по их инварианту Хассе. Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости: соотношению чётности (знак дискриминанта должен соответствовать отрицательному индексу инерции) и формуле произведения (локально-глобальному соотношению). Обратно, для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим соотношениям, существует квадратичная форма над K с этими инвариантами.