Кіріспе

Көбейту операциясы бар математикалық құрылым.

Математика және топтар теориясында "көбейту тобы" термині келесі ұғымдардың біреуін білдіреді:

бір өріс, сақина немесе көбейту деп аталатын операциясы бар басқа да құрылымның инверттендірілетін элементтерінің көбейтуі бойынша құрылған топ. Егер F өріс болса, онда топ (F \ {0}, •) болады, мұнда 0 – F өрісінің нөлдік элементі, ал • – өріс көбейтуі болып табылатын бинарлық операция,
алгебралық торус GL(1).

Мысалдар

n модулі бойынша бүтін сандардың көбейту тобы – n-нің инвертірленетін элементтерінің көбейту бойынша құрылған топ. Егер n жай сан болмаса, нөлден өзге инвертірленбейтін элементтер болады. Оң нақты сандардың көбейту тобы – 1 сәйкестік элементі бар абель тобы. Логарифм – бұл топтың нақты сандардың қосылу тобына изоморфизмі. Даланың көбейту тобы – көбейту операциясы бойынша барлық нөлден басқа элементтердің жиыны: . Егер дала q ретімен шектеулі болса (мысалы, q = p жай сан, және ), онда көбейту тобы циклдік болады: .

Бірліктің түбірлерінің топтық схемасы

Бірліктің n-шы түбірлерінің топтық схемасы, анықтама бойынша, топтық схема ретінде қарастырылатын GL(1) көбейтуші топтағы n-ші дәреже картасының ядросы болып табылады. Яғни, кез келген n > 1 бүтін саны үшін, біз көбейту тобындағы n-ші дәрежеге көтеретін морфизмді қарастырамыз және сәйкестік ретінде қызмет ететін e морфизмімен схемалардың тиісті талшықты көбейтіндісін аламыз. Соның нәтижесіндегі топтық схема μn (немесе ) деп жазылады. Егер K өрісінің сипаттамасы n-ді бөлмесе, оны K өрісіне өткізгенде, ол қысқартылған схемаға айналады. Бұл оны қысқартылмаған схемалардың маңызды мысалдарының біріне айналдырады (құрылымдық қабығындағы нильпотент элементтері бар схемалар); мысалы, кез келген жай сан p үшін p элементі бар шекті өрісте μp. Бұл құбылысты алгебралық геометрияның классикалық тілінде айту қиын. Мысалы, бұл абельдік сорттардың дуалдық теориясын сипаттамалық p-де (Пьер Картье теориясы) беруде маңызды рөл атқарады. Бұл топтық схеманың Галуа когомологиясы Куммер теориясын берудің бір жолы болып табылады.