Введение

Математическая структура с умножением как операцией.

В математике и теории групп термин "умножающая группа" относится к одному из следующих понятий:

группа относительно умножения обратимых элементов поля, кольца или другой структуры, для которой одна из операций называется умножением. В случае поля F, группа представляет собой (F \ {0}, •), где 0 обозначает нулевой элемент F, а • – бинарную операцию умножения в этом поле,
алгебраический тор GL(1).

Примеры

Множительная группа целых чисел по модулю n — это группа по умножению обратимых элементов из ℤₙ. Когда n не является простым числом, существуют элементы, отличные от нуля, которые не являются обратимыми. Множительная группа положительных действительных чисел — это абелева группа с 1 в качестве нейтрального элемента. Логарифм является групповым изоморфизмом этой группы в аддитивную группу действительных чисел ℝ. Множительная группа поля K — это множество всех ненулевых элементов: K \ {0}, относительно операции умножения. Если K конечно и имеет порядок q (например, q = p, где p — простое число, и q = pᵏ), то множительная группа является циклической: K* ≅ ℤ/qℤ.

Групповая схема корней единства

Схема групп n-го корня из единицы по определению является ядром отображения взятия n-й степени на мультипликативной группе GL(1), рассматриваемой как групповая схема. То есть, для любого целого числа n > 1 мы можем рассмотреть морфизм на мультипликативной группе, который отображает в n-ю степень, и взять соответствующее произведение волокон схем с морфизмом e, служащим тождественным отображением. Полученная групповая схема записывается как μn (или ). Она порождает редуцированную схему, когда мы рассматриваем её над полем K, если и только если характеристика K не делит n. Это делает её источником ключевых примеров нередуцированных схем (схем с нильпотентными элементами в их пучках структур); например, μp над конечным полем с p элементами для любого простого числа p. Это явление нелегко выразить на классическом языке алгебраической геометрии. Например, оказывается, что оно имеет важное значение для выражения теории двойственности абелевых многообразий в характеристике p (теория Пьера Картье). Галуа-когомологии этой групповой схемы являются способом выражения теории Куммера.