Галуа когомологиясы: математикалық зерттеулер мен даму тарихы
Galois cohomology
Галуа когомологиясы – Галуа топтарының модульдерін зерттейтін математикалық құрал. Сандар теориясы, алгебралық кеңейтімдерде қолданылады. Теңсіздіктерді анықтауға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада Галуа кохомологиясы – Галуа модульдерінің когомологиясын зерттеу, яғни Галуа топтарының модульдеріне гомологиялық алгебраны қолдану. L/K өріс кеңейтуіне қатысты G Галуа тобы кейбір абельдік топтарға табиғи түрде әсер етеді, мысалы, L-ден тікелей құрылғандар, сондай-ақ абстрактілірек тәсілдермен туындаған басқа да Галуа өкілдіктері арқылы. Галуа когомологиясы Галуа инвариантты элементтерді алудың дәл функтор болмай қалуын есепке алады.
In mathematics, Galois cohomology is the study of the group cohomology of Galois modules, that is, the application of homological algebra to modules for Galois groups. A Galois group G associated to a field extension L/K acts in a natural way on some abelian groups, for example those constructed directly from L, but also through other Galois representations that may be derived by more abstract means. Galois cohomology accounts for the way in which taking Galois invariant elements fails to be an exact functor.
Тарих
Галуа кохомологиясының қазіргі теориясы 1950 жылдар шамасында қалыптасты, сол кезде алгебралық сандар теориясындағы идеалдық сыныптар тобының Галуа кохомологиясы, сыныптық өріс теориясын құрудың бір жолы екені анықталды. Ол кезде сыныптық өріс теориясы L-функцияларымен байланысынан арылу процесінде болды. Галуа кохомологиясы Галуа топтарының абельдік болуын талап етпейді, сондықтан бұл абельдік емес теория болды. Ол сыныптық құрылымдар теориясы ретінде абстрактты түрде тұжырымдалды. 1960 жылдары екі маңызды жағдай осы жағдайды өзгертіп берді. Біріншіден, Галуа кохомологиясы эталь кохомология теориясының негізгі қабаты ретінде пайда болды (шамамен айтқанда, теория нөлдік өлшемді схемаларға қолданылғанда). Екіншіден, Лэнгленд философиясының бір бөлігі ретінде абельдік емес сыныптық өріс теориясы іске қосылды. Галуа кохомологиясының алғашқы нәтижелері алгебралық сандар теориясында және эллиптік қисықтар арифметикасында бұрыннан белгілі болған. Нормалық негіз теоремасы L-дің қосымша тобының бірінші кохомология тобының жоғалатынын көрсетеді. Бұл жалпы өріс кеңейтулері үшін алынған нәтиже, бірақ Ричард Дедекиндке белгілі бір түрінде бұрыннан мәлім болған. Көбейту тобы үшін сәйкес келетін нәтиже Хилберттің 90-теоремасы деп аталады және ол 1900 жылға дейін белгілі болған. Куммер теориясы да теорияның ерте бөлігі болды, ол m-дәрежелі қуат картасынан туындаған байланыстыру гомоморфизмін сипаттады. Біраз уақыт бойы, циклдік емес топтар үшін 1-коциклдің көбейту жағдайы Эмми Ноэтер есімімен аталған Ноэтер теңдеулерінің шешімі ретінде тұжырымдалды. Олар Эмиль Артиннің Галуа теориясын қарастыруында осы атаумен кездеседі және 1920 жылдары халық арасында кең таралған болуы мүмкін. Көбейту тобы үшін 2-коциклдің жағдайы Брауэр тобының жағдайы болып табылады, және оның салдары 1930 жылдардағы алгебраиктерге жақсы мәлім болған сияқты. Басқа бағытта, торсорлар Ферматтың эллиптік қисықтар үшін шексіз түсу аргументтерінде-ақ кездесетін. Көптеген тікелей есептеулер жасалды, және Морделл-Вейль теоремасын дәлелдеу үшін белгілі бір H1 тобы үшін шектілік дәлелінің орнына басқа тәсіл қолдану қажет болды. Алгебралық жабық емес өрістердегі нысандардың «бұрылған» сипаты, олар изоморфты емес, бірақ алгебралық жабылуда изоморфты болатын жағдайлар, 1930 жылдары жалпы теория пайда болғанға дейін басқа алгебралық топтармен (мысалы, квадраттық формалар, жай алгебралар, Севери-Брауэр сорттары) байланысты көптеген жағдайларда белгілі болды. Сандар теориясының қажеттіліктері, әсіресе, Галуа кохомологиясы үшін жергілікті-жаһандық принципті бақылау қажеттігімен білдірілді. Бұл сыныптық өріс теориясының нәтижелері, мысалы, Хассе норма теоремасы арқылы тұжырымдалды. Эллиптік қисықтар жағдайында бұл Селмер тобындағы Тейт-Шафаревич тобының негізгі анықтамасына әкелді, ол жергілікті-жаһандық принциптің орындалуына кедергі келтіреді. Оның маңыздылығына қарамастан, мысалы, Берч пен Суиннертон-Дайер болжамында, Карл Рубиннің нәтижелері кейбір жағдайларда оның шекті екенін көрсетуге мүмкіндік бергенге дейін оны бақылау өте қиын болды (бұл нәтиже жалпыға бірдей сенімді, өйткені оның болжамды реті L-функция формуласымен болжалды). Теорияның тағы бір маңызды дамуы, сонымен қатар Джон Тейтке қатысты, Тейт-Пуату екілігі нәтижесі болды. Техникалық тұрғыдан алғанда, G проконектік топ болуы мүмкін, онда анықтамалар тек үздіксіз коцейндерді ғана рұқсат ету үшін түзетуді қажет етеді.
The current theory of Galois cohomology came together around 1950, when it was realised that the Galois cohomology of ideal class groups in algebraic number theory was one way to formulate class field theory, at the time it was in the process of ridding itself of connections to L functions. Galois cohomology makes no assumption that Galois groups are abelian groups, so this was a non abelian theory. It was formulated abstractly as a theory of class formations. Two developments of the 1960s turned the position around. Firstly, Galois cohomology appeared as the foundational layer of étale cohomology theory (roughly speaking, the theory as it applies to zero dimensional schemes). Secondly, non abelian class field theory was launched as part of the Langlands philosophy. The earliest results identifiable as Galois cohomology had been known long before, in algebraic number theory and the arithmetic of elliptic curves. The normal basis theorem implies that the first cohomology group of the additive group of L will vanish; this is a result on general field extensions, but was known in some form to Richard Dedekind. The corresponding result for the multiplicative group is known as Hilbert's Theorem 90, and was known before 1900. Kummer theory was another such early part of the theory, giving a description of the connecting homomorphism coming from the m th power map. In fact, for a while the multiplicative case of a 1 cocycle for groups that are not necessarily cyclic was formulated as the solubility of Noether's equations, named for Emmy Noether; they appear under this name in Emil Artin's treatment of Galois theory, and may have been folklore in the 1920s. The case of 2 cocycles for the multiplicative group is that of the Brauer group, and the implications seem to have been well known to algebraists of the 1930s. In another direction, that of torsors, these were already implicit in the infinite descent arguments of Fermat for elliptic curves. Numerous direct calculations were done, and the proof of the Mordell–Weil theorem had to proceed by some surrogate of a finiteness proof for a particular H1 group. The 'twisted' nature of objects over fields that are not algebraically closed, which are not isomorphic but become so over the algebraic closure, was also known in many cases linked to other algebraic groups (such as quadratic forms, simple algebras, Severi–Brauer varieties), in the 1930s, before the general theory arrived. The needs of number theory were in particular expressed by the requirement to have control of a local global principle for Galois cohomology. This was formulated by means of results in class field theory, such as Hasse's norm theorem. In the case of elliptic curves, it led to the key definition of the Tate–Shafarevich group in the Selmer group, which is the obstruction to the success of a local global principle. Despite its great importance, for example in the Birch and Swinnerton Dyer conjecture, it proved very difficult to get any control of it, until results of Karl Rubin gave a way to show in some cases it was finite (a result generally believed, since its conjectural order was predicted by an L function formula). The other major development of the theory, also involving John Tate was the Tate–Poitou duality result. Technically speaking, G may be a profinite group, in which case the definitions need to be adjusted to allow only continuous cochains.