Введение

В математике, кохомология Галуа — это изучение групповой кохомологии модулей Галуа, то есть применение гомологической алгебры к модулям над группами Галуа. Группа Галуа G, ассоциированная с расширением поля L/K, действует естественным образом на некоторые абелевы группы, например, на те, которые построены непосредственно из L, но также и посредством других представлений Галуа, которые могут быть получены более абстрактными способами. Кохомология Галуа описывает причины, по которым выделение инвариантных относительно Галуа элементов не является точным функтором.

История

Текущая теория кохомологий Галуа сформировалась примерно в 1950 году, когда стало ясно, что кохомологии Галуа идеальных классовых групп в алгебраической теории чисел можно использовать для формулировки теории классовых полей, которая в то время избавлялась от связи с L-функциями. Кохомологии Галуа не делают предположений об абелевости групп Галуа, поэтому это была неабелева теория. Она была сформулирована абстрактно как теория формирований классов. Два развития 1960-х годов изменили ситуацию. Во-первых, кохомологии Галуа стали основополагающим слоем теории этальных кохомологий (грубо говоря, теории, применимой к схемам нулевой размерности). Во-вторых, неабелева теория классовых полей была запущена как часть философии Лэнгландса. Самые ранние результаты, которые можно идентифицировать как кохомологии Галуа, были известны задолго до этого – в алгебраической теории чисел и арифметике эллиптических кривых. Теорема о нормальной базе подразумевает, что первая когомологическая группа аддитивной группы L будет равна нулю; это результат об общих расширениях поля, но в некоторой форме был известен Ричарду Дедекинду. Соответствующий результат для мультипликативной группы известен как теорема Гильберта 90 и был известен до 1900 года. Теория Куммера была еще одной ранней частью теории, дающей описание связывающего гомоморфизма, происходящего из отображения в m-ю степень. Фактически, некоторое время мультипликативный случай 1-коцикла для групп, не обязательно цикличных, формулировался как разрешимость уравнений Нотер, названных в честь Эмми Нотер; они встречаются под этим названием в трактовке теории Галуа Эмиля Артина и, возможно, были частью фольклора в 1920-х годах. Случай 2-коциклов для мультипликативной группы соответствует группе Брауэра, и последствия, по-видимому, были хорошо известны алгебраистам 1930-х годов. В другом направлении, в теории торсоров, они уже были неявно содержались в аргументах бесконечного спуска Ферма для эллиптических кривых. Было выполнено множество прямых вычислений, и доказательство теоремы Морделла — Вейля должно было опираться на некий суррогат доказательства конечности для конкретной группы H1. «Скрученная» природа объектов над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми, которые не изоморфны, но становятся таковыми над алгебраическим замыканием, также была известна во многих случаях, связанных с другими алгебраическими группами (такими как квадратичные формы, простые алгебры, многообразия Севери — Брауэра) в 1930-х годах, до появления общей теории. Потребности теории чисел были особенно выражены в требовании контролировать локально-глобальный принцип для кохомологий Галуа. Это было сформулировано с помощью результатов в теории классовых полей, таких как теорема о норме Хассе. В случае эллиптических кривых это привело к ключевому определению группы Тате — Шафаревича в группе Сельмера, которая является препятствием для успеха локально-глобального принципа. Несмотря на свою большую важность, например, в гипотезе Бирча и Суиннертона-Дайера, оказалось очень трудно получить над ней контроль, пока результаты Карла Рубина не дали способа показать, что в некоторых случаях она конечна (результат, который обычно считается верным, поскольку ее предполагаемый порядок был предсказан формулой L-функции). Другим важным развитием теории, также с участием Джона Тейта, был результат двойственности Тейта — Пуату. Технически, G может быть проконечной группой, в этом случае определения необходимо скорректировать, чтобы допускать только непрерывные коцепИ.