Шур көбейткіші – топтар теориясындағы екінші когомология тобы. Шешілген топтар үшін абелдік топ, топтың ретін бөледі. Циклдік Силов топтарында тривиалды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық топтар теориясында Шур көбейтушісі немесе Шур мультипликаторы – G тобының екінші гомологиялық тобы. Ол жобалық өкілдіктер туралы зерттеулерінде енгізілді.
In mathematical group theory, the Schur multiplier or Schur multiplicator is the second homology group of a group G. It was introduced by in his work on projective representations.
Мысалдар мен қасиеттері
G шекті тобының Шур көбейтушісі – шекті абельдік топ, оның экспоненті G тобының ретін бөледі. Егер G тобының Sylow p кіші тобы белгілі бір p үшін циклдік болса, онда оның реті p-ге бөлінбейді. Атап айтқанда, егер G тобының барлық Sylow p кіші топтары циклдік болса, онда Шур көбейтушісі тривиальды болады. Мысалы, 6 реттік антикоммутативті топтың Шур көбейтушісі тривиальды топ, себебі оның әрбір Sylow кіші тобы циклдік. 16 реттік элементарлы абельдік топтың Шур көбейтушісі 64 реттік элементарлы абельдік топ, бұл көбейтушінің өзінен қатаң үлкен болуы мүмкін екенін көрсетеді. Кватерниондық топтың Шур көбейтушісі тривиальды, бірақ диэдрлі 2 топтарының Шур көбейтушісі 2 реттік. Шекті қарапайым топтардың Шур көбейтушілері шекті қарапайым топтар тізімінде келтірілген. Кезектесетін және симметриялық топтардың жабатын топтары соңғы кезде зор қызығушылық тудырып отыр.
The Schur multiplier of a finite group G is a finite abelian group whose exponent divides the order of G. If a Sylow p subgroup of G is cyclic for some p, then the order of is not divisible by p. In particular, if all Sylow p subgroups of G are cyclic, then is trivial. For instance, the Schur multiplier of the nonabelian group of order 6 is the trivial group since every Sylow subgroup is cyclic. The Schur multiplier of the elementary abelian group of order 16 is an elementary abelian group of order 64, showing that the multiplier can be strictly larger than the group itself. The Schur multiplier of the quaternion group is trivial, but the Schur multiplier of dihedral 2 groups has order 2. The Schur multipliers of the finite simple groups are given at the list of finite simple groups. The covering groups of the alternating and symmetric groups are of considerable recent interest.
Проективті бейнелеулермен байланыс
Шурдың көбейтушіні зерттеуге түрткі болған бастапқы себеп – топтың проективті бейнелеулерін жіктеу еді, ал оның анықтамасының қазіргі заманғы түрі – екінші когомология тобы. Проективті бейнелеу топтық бейнелеуге ұқсас, бірақ жалпы сызықтық топқа гомоморфизмнің орнына проективті жалпы сызықтық топқа гомоморфизм қолданылады. Яғни, проективті бейнелеу – бұл орталық бойынша бейнелеу. Кез келген шекті топ G үшін оған кем дегенде бір шекті топ C, Шур қаптамасы деп аталатын, сәйкес келеді, оның қасиеті бойынша G-нің кез келген проективті бейнелеуі C-нің обычный бейнелеуіне көтерілуі мүмкін. Шур қаптамасы сонымен қатар қаптама тобы немесе Darstellungsgruppe деп те аталады. Шектеулі жай топтардың Шур қаптамалары белгілі, және олардың әрқайсысы квазижай топтың мысалы болып табылады. Кемел топтың Шур қаптамасы изоморфизмге дейін бірегей түрде анықталады, бірақ жалпы шекті топтың Шур қаптамасы тек изоклинизмге дейін ғана анықталады.
Schur's original motivation for studying the multiplier was to classify projective representations of a group, and the modern formulation of his definition is the second cohomology group A projective representation is much like a group representation except that instead of a homomorphism into the general linear group , one takes a homomorphism into the projective general linear group In other words, a projective representation is a representation modulo the center. showed that every finite group G has associated to it at least one finite group C, called a Schur cover, with the property that every projective representation of G can be lifted to an ordinary representation of C. The Schur cover is also known as a covering group or Darstellungsgruppe. The Schur covers of the finite simple groups are known, and each is an example of a quasisimple group. The Schur cover of a perfect group is uniquely determined up to isomorphism, but the Schur cover of a general finite group is only determined up to isoclinism.
Тиімді презентацияларға қатысты
Комбинаторлық топтар теориясында топ көбінесе берілген түсіндіруден туындайды. Математиканың осы саласындағы маңызды мәселе – Баумслаг-Солитар топтары сияқты, мүмкіндігінше аз қатынастармен берілген түсіндірулерді зерттеу. Бұл топтар екі генератор және бір қатынасқа ие шексіз топтар, ал Шрайердің бұрынғы нәтижесі, генераторлар саны қатынастар санынан көп болған кез келген түсіндіруде, нәтижедегі топтың шексіз екенін көрсетеді. Сондықтан, шекаралық жағдай өте қызығушылық тудырады: қатынастар саны генераторлар санымен тең болатын шекті топтардың жетіспеушілігі нөл деп аталады. Топтың жетіспеушілігі нөл болуы үшін, топта тривиалды Шур көбейтуіші болуы керек, себебі Шур көбейтуішінің генераторларының ең аз саны әрқашан қатынастар саны мен генераторлар саны арасындағы айырмашылықтан кем немесе тең болады, яғни теріс жетіспеушілікке тең. Тиімді топ – Шур көбейтуіші осы санды генераторлар қажет ететін топ. Соңғы кездегі зерттеулердің тақырыбы – тривиалды Шур көбейтуішіне ие барлық шекті қарапайым топтар үшін тиімді түсіндірулерді табу. Мұндай түсіндірулер белгілі бір жағынан жақсы, себебі олар көбінесе қысқа болады, бірақ оларды табу және жұмыс істеу қиын, өйткені олар косеттерді санау сияқты стандартты әдістерге жарамсыз.
In combinatorial group theory, a group often originates from a presentation. One important theme in this area of mathematics is to study presentations with as few relations as possible, such as one relator groups like Baumslag–Solitar groups. These groups are infinite groups with two generators and one relation, and an old result of Schreier shows that in any presentation with more generators than relations, the resulting group is infinite. The borderline case is thus quite interesting: finite groups with the same number of generators as relations are said to have a deficiency zero. For a group to have deficiency zero, the group must have a trivial Schur multiplier because the minimum number of generators of the Schur multiplier is always less than or equal to the difference between the number of relations and the number of generators, which is the negative deficiency. An efficient group is one where the Schur multiplier requires this number of generators. A fairly recent topic of research is to find efficient presentations for all finite simple groups with trivial Schur multipliers. Such presentations are in some sense nice because they are usually short, but they are difficult to find and to work with because they are ill suited to standard methods such as coset enumeration.
Топологиямен байланысы
Топологияда топтарды көбінесе шекті түрде берілген топтар ретінде сипаттауға болады, ал олардың интегралды гомологиясын есептеу – негізгі мәселе. Атап айтқанда, екінші гомология ерекше роль атқарады, және осы себепті Хайнц Хопф оны есептеудің тиімді әдісін табуға ұмтылды. Бұл әдіс Хопфтың интегралды гомология формуласы деп те аталады және ол шекті топтың Шур көбейткіші үшін Шур формуласына сәйкес келеді:
In topology, groups can often be described as finitely presented groups and a fundamental question is to calculate their integral homology In particular, the second homology plays a special role and this led Heinz Hopf to find an effective method for calculating it. The method in is also known as Hopf's integral homology formula and is identical to Schur's formula for the Schur multiplier of a finite group:
мұндағы және F – еркін топ. Егер G – кемелді топ болса, дәл осы формула қолданылады. Осы формулалардың бірдей екенін түсіну Сэмюэл Эйленберг пен Сондерс Мак Лейнді топтардың когомологиясын жасауға жетеледі. Жалпы жағдайда,
where and F is a free group. The same formula also holds when G is a perfect group. The recognition that these formulas were the same led Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane to the creation of cohomology of groups. In general,
жұлдыз алгебралық дуал топты білдіреді. Сонымен қатар, егер G шекті болса, онда табиғи емес изоморфизм бар.
where the star denotes the algebraic dual group. Moreover, when G is finite, there is an unnatural isomorphism
Хопф формуласы жоғары өлшемдерге де обобщалды. Бір тәсілмен және сілтемелермен Эверарт, Гран және Ван дер Линденнің төменде көрсетілген мақаласынан танысуға болады. Кемелді топ – бірінші интегралды гомологиясы нөлге тең болатын топ. Суперкемелді топ – алғашқы екі интегралды гомологиялық тобы нөлге тең болатын топ. Шур шекті кемелді топтардың жабындары суперкемелді болады. Ациклдік топ – барлық қысқартылған интегралды гомологиясы нөлге тең болатын топ.
The Hopf formula for has been generalised to higher dimensions. For one approach and references see the paper by Everaert, Gran and Van der Linden listed below. A perfect group is one whose first integral homology vanishes. A superperfect group is one whose first two integral homology groups vanish. The Schur covers of finite perfect groups are superperfect. An acyclic group is a group all of whose reduced integral homology vanishes.
Қолданбалар
Коммутативті сақина R-дің екінші алгебралық K тобы K2(R) R-дегі жазбалары бар (шексіз) элементарлық матрицалар тобы E(R)-дің екінші гомология тобы H2(E(R), Z) -мен теңдестіріледі.
The second algebraic K group K2(R) of a commutative ring R can be identified with the second homology group H2(E(R), Z) of the group E(R) of (infinite) elementary matrices with entries in R.