Введение

В математической теории групп мультипликатор Шура — это вторая группа гомологий группы G. Он был введен в его работе о проективных представлениях.

Примеры и свойства

Мультипликатор Шура конечной группы G — это конечная абелева группа, чей показатель делит порядок G. Если силовская p-подгруппа G циклична для некоторого p, то порядок мультипликатора не делится на p. В частности, если все силовские p-подгруппы G цикличны, то мультипликатор тривиален. Например, мультипликатор Шура неабелевой группы порядка 6 является тривиальной группой, поскольку каждая силовская подгруппа циклична. Мультипликатор Шура элементарной абелевой группы порядка 16 является элементарной абелевой группой порядка 64, что показывает, что мультипликатор может быть строго больше самой группы. Мультипликатор Шура кватернионной группы тривиален, но мультипликатор Шура диэдральных групп имеет порядок 2. Мультипликаторы Шура конечных простых групп приведены в списке конечных простых групп. Группы накрытий чередующихся и симметричных групп представляют значительный интерес в последнее время.

Отношение к проективным представлениям

Первоначальной мотивацией Шура для изучения множителя была классификация проективных представлений группы, а современная формулировка его определения – вторая когомологическая группа. Проективное представление очень похоже на обычное групповое представление, за исключением того, что вместо гомоморфизма в общую линейную группу берется гомоморфизм в проективную общую линейную группу. Иными словами, проективное представление – это представление по модулю центра. Шура показал, что каждой конечной группе G соответствует по крайней мере одна конечная группа C, называемая покрытием Шура, обладающая свойством, что любое проективное представление G можно расширить до обычного представления C. Покрытие Шура также известно как покрывающая группа или Darstellungsgruppe. Покрытия Шура конечных простых групп известны, и каждое из них является примером квазипростой группы. Покрытие Шура совершенной группы определяется однозначно с точностью до изоморфизма, а покрытие Шура общей конечной группы определяется лишь с точностью до изоклинизма.

Отношение к эффективным презентациям

В комбинаторной теории групп группа часто возникает из представления. Важной темой в этой области математики является изучение представлений с как можно меньшим числом определяющих соотношений, таких как группы с одним определяющим соотношением, например, группы Баумслага — Солитара. Эти группы — бесконечные группы с двумя образующими и одним определяющим соотношением, и старый результат Шрайера показывает, что в любом представлении с большим числом образующих, чем определяющих соотношений, получающаяся группа бесконечна. Таким образом, пограничный случай весьма интересен: конечные группы с одинаковым числом образующих и определяющих соотношений говорят, что имеют дефицит, равный нулю. Чтобы группа имела дефицит, равный нулю, группа должна иметь тривиальный мультипликатор Шура, поскольку минимальное число образующих мультипликатора Шура всегда меньше или равно разности между числом определяющих соотношений и числом образующих, что является отрицательным дефицитом. Эффективная группа — это группа, для которой мультипликатор Шура требует именно такого числа образующих. Относительно недавняя область исследований — поиск эффективных представлений для всех конечных простых групп с тривиальными мультипликаторами Шура. Такие представления в некотором смысле удобны, поскольку они обычно коротки, но их трудно найти и с ними сложно работать, так как они плохо подходят для стандартных методов, таких как перечисление смежных классов.

Отношение к топологии

В топологии группы часто можно описать как конечно представленные группы, и фундаментальным вопросом является вычисление их интегральной гомологии. В частности, вторая гомология играет особую роль, и это привело Хайнца Хопфа к поиску эффективного метода ее вычисления. Метод также известен как формула интегральной гомологии Хопфа и идентичен формуле Шура для мультипликатора Шура конечной группы: где и F – свободная группа. Та же формула также справедлива, когда G – совершенная группа. Осознание того, что эти формулы одинаковы, привело Сэмюэля Эйленберга и Со́ндерса Мак-Ле́йна к созданию кохомологии групп. В общем случае, где звездочка обозначает алгебраически сопряженную группу. Более того, когда G конечна, существует неестественный изоморфизм. Формула Хопфа для была обобщена на более высокие размерности. Об одном из подходов и ссылках можно узнать из статьи Эверарта, Грана и Ван дер Линден, указанной ниже. Совершенная группа – это группа, чья первая интегральная гомология равна нулю. Сверхсовершенная группа – это группа, чьи первые две интегральные гомологические группы равны нулю. Покрытия Шура конечных совершенных групп являются сверхсовершенными. Ациклическая группа – это группа, вся редуцированная интегральная гомология которой равна нулю.

Приложения

Вторая алгебраическая группа K₂(R) коммутативного кольца R может быть отождествлена со второй группой гомологии H₂(E(R), ℤ) группы E(R) бесконечных элементарных матриц с элементами из R.