Математикалық түрленулерде өзгермейтін қасиеттер

Кіріспе

Математикалық түрлендірулерге өзгермейтін қасиет. Математикада инвариант – математикалық объектінің (немесе математикалық объекттер класының) белгілі бір типтегі операциялар немесе түрлендірулер қолданғаннан кейін өзгермейтін қасиеті. Объектілер класы мен түрлендіру типі әдетте термин қолданылатын контекст арқылы көрсетіледі. Мысалы, үшбұрыштың ауданы Эвклид жазықтығының изометрияларына қатысты инвариант болып табылады. "Инвариантты" және "инвариантқа" деген тіркестер де қолданылады. Жалпы алғанда, эквиваленттілік қатынасына қатысты инвариант – әр эквиваленттілік класында тұрақты болатын қасиет. Инварианттар геометрия, топология, алгебра және дискретті математика сияқты математиканың алуан салаларында қолданылады. Кейбір маңызды түрлендірулер кластары олар сақтайтын инвариант арқылы анықталады. Мысалы, конформдық бейнелеулер бұрыштарды сақтайтын жазықтықтың түрлендірулері ретінде анықталады. Инварианттарды табу математикалық объектілерді жіктеу процесіндегі маңызды қадам. Динамикалық жүйенің бекітілген нүктелерінің саны көптеген математикалық операциялар кезінде инвариантты болып қалады. Эвклидтік қашықтық ортогональды түрлендірулер кезінде инвариантты. Эвклидтік аудан ±1 детерминанты бар сызықтық түрлендірулерде инвариантты (қараңыз). Проективтік түрлендірулердің инварианттарына үш немесе одан көп нүктенің коллинеарлығы, үш немесе одан көп түзудің бір нүктеде қиылысуы, коникалық қималар және қима қатынасы жатады. Сызықтық эндоморфизмнің детерминанты, із, өзіндік векторлары және өзіндік мәндері базис өзгергенде инвариантты болып қалады. Басқаша айтқанда, матрицаның спектрі базис өзгергенде инвариантты. Тензорлардың басқа инварианттары координаттар жүйесінің айналуымен өзгермейді (Тензорлардың инварианттарын қараңыз). Матрицаның жеке мәндері ортогональды түрлендірулер кезінде инвариантты. Лебег өлшемі аудармаларда инвариантты. Ықтималдық таралуының дисперсиясы нақты түзудің аудармаларында инвариантты. Сондықтан, кездейсоқ шаманың дисперсиясы тұрақты қосылғаннан кейін өзгермейді. Түрлендірудің бекітілген нүктелері – түрлендіру кезінде инвариантты болатын домендегі элементтер. Қолданылуына байланысты оларды осы түрлендіруге қатысты симметриялық деп атауға болады. Мысалы, трансляциялық симметриясы бар объектілер белгілі бір аудармаларда инвариантты. Екі өлшемді Римандық көптүрлілігінің Гаусс қисықтығының интегралы Риман метрикасы өзгергенде инвариантты. Бұл Гаусс-Бонне теоремасы.

Property that is not changed by mathematical transformations

In mathematics, an invariant is a property of a mathematical object (or a class of mathematical objects) which remains unchanged after operations or transformations of a certain type are applied to the objects. The particular class of objects and type of transformations are usually indicated by the context in which the term is used. For example, the area of a triangle is an invariant with respect to isometries of the Euclidean plane. The phrases "invariant under" and "invariant to" a transformation are both used. More generally, an invariant with respect to an equivalence relation is a property that is constant on each equivalence class. Invariants are used in diverse areas of mathematics such as geometry, topology, algebra and discrete mathematics. Some important classes of transformations are defined by an invariant they leave unchanged. For example, conformal maps are defined as transformations of the plane that preserve angles. The discovery of invariants is an important step in the process of classifying mathematical objects. The number of fixed points of a dynamical system is invariant under many mathematical operations. Euclidean distance is invariant under orthogonal transformations. Euclidean area is invariant under linear maps which have determinant ±1 (see ). Some invariants of projective transformations include collinearity of three or more points, concurrency of three or more lines, conic sections, and the cross ratio. The determinant, trace, eigenvectors, and eigenvalues of a linear endomorphism are invariant under a change of basis. In other words, the spectrum of a matrix is invariant under a change of basis. The principal invariants of tensors do not change with rotation of the coordinate system (see Invariants of tensors). The singular values of a matrix are invariant under orthogonal transformations. Lebesgue measure is invariant under translations. The variance of a probability distribution is invariant under translations of the real line. Hence the variance of a random variable is unchanged after the addition of a constant. The fixed points of a transformation are the elements in the domain that are invariant under the transformation. They may, depending on the application, be called symmetric with respect to that transformation. For example, objects with translational symmetry are invariant under certain translations. The integral of the Gaussian curvature of a two dimensional Riemannian manifold is invariant under changes of the Riemannian metric This is the Gauss–Bonnet theorem.

Өзгермейтін жиын

T: U → U картасының U доменінің S ішкі жиыны, егер карта астында инвариантты жиынтық болып табылады. S жиынының элементтері өзгермейтінін ескеріңіз, тіпті S жиыны U-дың қуат жиынында өзгермейтін болса да. (Кейбір авторлар осы жағдайларды ажырату үшін "жиынтық бойынша инвариантты" және "нүктелік инвариантты" терминологиясын қолданады.) Мысалы, шеңбер – шеңбердің центрінен айналу кезінде жазықтықтың инвариантты ішкі жиыны. Сонымен қатар, конустық бет кеңістіктің гомотетиясы бойынша жиын ретінде инвариантты болады. T операциясының инвариантты жиыны T бойынша тұрақты деп те айтылады. Мысалы, топтар теориясында маңызды қалыпты ішкі топтар – бұл қоршаған топтың ішкі автоморфизмдері бойынша тұрақты болатын ішкі топтар. Сызықтық алгебрада, егер сызықтық түрлендірудің T өзіндік векторы v болса, онда 0 және v арқылы өтетін түзу T астында инвариантты жиынтық болып табылады, мұндағы өзіндік векторлар T бойынша тұрақты инвариантты ішкі кеңістікті құрайды. Егер T бұрандалы орын ауыстыру болса, бұрандалы ось инвариантты түзу болып табылады, бірақ егер қадамы нөлден өзгеше болса, T-де тұрақты нүктелер жоқ. Ықтималдықтар теориясы мен эргодикалық теорияда инвариантты жиынтықтар көбінесе күшті қасиет арқылы анықталады. Егер карта өлшенетін болса, инвариантты жиынтықтар сигма-алгебраны, яғни инвариантты сигма-алгебраны құрайды.

Ресми мәлімдеме

Инварианттылық ұғымы математикада үш түрлі тәсілмен формалданады: топтық әрекеттер, ұсыныстар және деформация арқылы.

Топтық іс-қимыл бойынша өзгеріссіз

Біріншіден, егер G тобы математикалық объектіге (немесе объектілер жиынтығына) X-ке әрекет етсе, онда x нүктелерінің қайсысы топтың әрекеті немесе топтың g элементі кезінде өзгермейтін, яғни «инвариантты» екенін сұрауға болады. Көбінесе, G тобы X жиынтығында әрекет етеді, сонда байланысты жиынтықтағы F(X) нысандарының қайсысы инвариантты екенін анықтау қалады. Мысалы, жазықтықтағы бір нүктеге айналу осы айналған нүктеге инвариантты қалдырады, ал жазықтықтағы жылжу ешқандай нүктені инвариантты қалдырмайды, бірақ жылғыш бағытына параллель барлық түзулерді инвариантты түзулер ретінде қалдырады. Формальды түрде, жазықтықтағы түзулер жиынтығын L(P) деп белгілейміз; сонда жазықтықтың қатаң қозғалысы түзулерді түзулерге айналдырады – қатаң қозғалыстар тобы түзулер жиынтығына әрекет етеді – және қандай түзулер әрекеттен өзгермейтінін сұрауға болады. Одан да маңыздысы, «жазықтықтағы шеңбердің радиусы» сияқты жиынтықтағы функцияны анықтап, бұл функция қатаң қозғалыс сияқты топтық әрекетте инвариантты болып табыла ма деп сұрауға болады. Инварианттарға қарама-қарсы түсінік – коинварианттар, сонымен қатар орбиталар деп те аталады, бұл конгруэнттілік ұғымын формалдайды: топтық әрекет арқылы бір-біріне айналдырылатын объектілер. Мысалы, жазықтықтың қатаң қозғалыстары тобы бойынша үшбұрыштың периметрі инвариантты болып табылады, ал берілген үшбұрышқа конгруэнтті үшбұрыштар жиынтығы – коинвариантты болып табылады. Олардың байланысы келесідей: инварианттар коинварианттарда тұрақты (мысалы, конгруэнтті үшбұрыштардың периметрі бірдей), ал бір инварианттың мәні бойынша сәйкес келетін екі объекті конгруэнтті болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін (мысалы, бірдей периметрі бар екі үшбұрыш конгруэнтті болуы міндетті емес). Классификация мәселесінде инварианттардың толық жиынтығын табуға тырысуға болады, егер екі объектінің осы инварианттар жиынтығы бойынша бірдей мәндері болса, онда олар конгруэнтті болады. Мысалы, үш жағы тең үшбұрыштар қатаң қозғалыстар кезінде ССС конгруэнтілігі арқылы конгруэнтті болады, сондықтан үш жағының ұзындығы үшбұрыштар үшін инварианттардың толық жиынтығын құрайды. Үшбұрыштың үш бұрыштық өлшемі де қатаң қозғалыстар кезінде инвариантты болып табылады, бірақ толық жиынтықты құрамайды, өйткені конгруэнтті емес үшбұрыштар бірдей бұрыштық өлшемдерге ие болуы мүмкін. Алайда, егер адам қатаң қозғалыстарға қоса масштабтауға рұқсат берсе, онда AAA ұқсастық критерийі бұл инварианттардың толық жиынтығы екенін көрсетеді.

Firstly, if one has a group G acting on a mathematical object (or set of objects) X, then one may ask which points x are unchanged, "invariant" under the group action, or under an element g of the group. Frequently one will have a group acting on a set X, which leaves one to determine which objects in an associated set F(X) are invariant. For example, rotation in the plane about a point leaves the point about which it rotates invariant, while translation in the plane does not leave any points invariant, but does leave all lines parallel to the direction of translation invariant as lines. Formally, define the set of lines in the plane P as L(P); then a rigid motion of the plane takes lines to lines – the group of rigid motions acts on the set of lines – and one may ask which lines are unchanged by an action. More importantly, one may define a function on a set, such as "radius of a circle in the plane", and then ask if this function is invariant under a group action, such as rigid motions. Dual to the notion of invariants are coinvariants, also known as orbits, which formalizes the notion of congruence: objects which can be taken to each other by a group action. For example, under the group of rigid motions of the plane, the perimeter of a triangle is an invariant, while the set of triangles congruent to a given triangle is a coinvariant. These are connected as follows: invariants are constant on coinvariants (for example, congruent triangles have the same perimeter), while two objects which agree in the value of one invariant may or may not be congruent (for example, two triangles with the same perimeter need not be congruent). In classification problems, one might seek to find a complete set of invariants, such that if two objects have the same values for this set of invariants, then they are congruent. For example, triangles such that all three sides are equal are congruent under rigid motions, via SSS congruence, and thus the lengths of all three sides form a complete set of invariants for triangles. The three angle measures of a triangle are also invariant under rigid motions, but do not form a complete set as incongruent triangles can share the same angle measures. However, if one allows scaling in addition to rigid motions, then the AAA similarity criterion shows that this is a complete set of invariants.

Қиындықта өзгеріссіз

Үшіншіден, егер біреу алгебралық геометрия мен дифференциалдық геометрияда жиі кездесетіндей, отбасы ішінде өзгеретін объектіні зерттейтін болса, онда қасиет бұзылған кезде сақталады ма деген сұрақ тууы мүмкін (мысалы, объект отбасылар бойынша тұрақты ма немесе метрика өзгергенде инвариантты болып қала ма).