Введение

Свойство, которое не изменяется при математических преобразованиях

В математике инвариант — это свойство математического объекта (или класса математических объектов), которое остаётся неизменным после применения к объектам операций или преобразований определённого типа. Конкретный класс объектов и тип преобразований обычно указываются контекстом, в котором используется термин. Например, площадь треугольника является инвариантом относительно изометрий евклидовой плоскости. Используются выражения "инвариантный по отношению к" и "инвариантный к" преобразованию. В более общем смысле, инвариант относительно отношения эквивалентности — это свойство, которое постоянно для каждого класса эквивалентности. Инварианты используются в различных областях математики, таких как геометрия, топология, алгебра и дискретная математика. Некоторые важные классы преобразований определяются инвариантом, который они сохраняют. Например, конформные отображения определяются как преобразования плоскости, сохраняющие углы. Обнаружение инвариантов — важный шаг в процессе классификации математических объектов. Количество неподвижных точек динамической системы является инвариантом при многих математических операциях. Евклидово расстояние инвариантно относительно ортогональных преобразований. Евклидова площадь инвариантна при линейных отображениях с определителем ±1 (см.). К некоторым инвариантам проективных преобразований относятся коллинеарность трёх или более точек, сходимость трёх или более прямых, конические сечения и двойное отношение. Определитель, след, собственные векторы и собственные значения линейного эндоморфизма инвариантны при смене базиса. Иными словами, спектр матрицы инвариантен при смене базиса. Главные инварианты тензоров не изменяются при вращении системы координат (см. Инварианты тензоров). Сингулярные значения матрицы инвариантны относительно ортогональных преобразований. Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов. Дисперсия распределения вероятностей инвариантна относительно сдвигов вещественной прямой. Следовательно, дисперсия случайной величины не изменяется при добавлении константы. Неподвижные точки преобразования — это элементы в области определения, которые инвариантны относительно преобразования. В зависимости от области применения их можно назвать симметричными относительно этого преобразования. Например, объекты с трансляционной симметрией инвариантны относительно определённых сдвигов. Интеграл гауссовой кривизны двумерного риманова многообразия инвариантен при изменении римановой метрики. Это теорема Гаусса — Бонне.

Неизменная множество

Подмножество S домена U отображения T: U → U является инвариантным множеством относительно отображения, если элементы S не являются фиксированными, хотя само множество S фиксировано в булеане (или множестве всех подмножеств) U. (Некоторые авторы используют терминологию "инвариантное по множеству" в отличие от "инвариантное по точке", чтобы различать эти случаи.) Например, окружность является инвариантным подмножеством плоскости при вращении вокруг центра окружности. Кроме того, коническая поверхность является инвариантной как множество при гомотетии пространства. Инвариантное множество операции T также называют стабильным относительно T. Например, нормальные подгруппы, имеющие важное значение в теории групп, – это те подгруппы, которые стабильны относительно внутренних автоморфизмов исходной группы. В линейной алгебре, если линейное преобразование T имеет собственный вектор v, то прямая, проходящая через 0 и v, является инвариантным множеством относительно T, и в этом случае собственные векторы порождают инвариантное подпространство, которое стабильно относительно T.

Когда T является винтовым движением, ось винта является инвариантной прямой, хотя если шаг отличен от нуля, T не имеет неподвижных точек. В теории вероятностей и эргодической теории инвариантные множества обычно определяются через более сильное свойство. Когда отображение измеримо, инвариантные множества образуют сигма-алгебру, называемую инвариантной сигма-алгеброй.

Официальное заявление

Понятие инвариантности формализуется в математике тремя различными способами: посредством групповых действий, представлений и деформаций.

Неизменен в рамках группового действия

Во-первых, если дана группа G, действующая на математический объект (или множество объектов) X, то можно задаться вопросом, какие точки x остаются неизменными, или "инвариантными", при действии группы или при действии элемента g группы. Часто рассматривают ситуацию, когда группа действует на множество X, и возникает задача определения того, какие объекты в ассоциированном множестве F(X) являются инвариантными. Например, вращение плоскости вокруг точки оставляет эту точку инвариантной, в то время как сдвиг в плоскости не оставляет ни одной точки инвариантной, но оставляет инвариантными все линии, параллельные направлению сдвига, рассматриваемые как линии. Формально, определим множество линий на плоскости P как L(P); тогда жесткое движение плоскости переводит линии в линии – группа жестких движений действует на множество линий – и можно спросить, какие линии остаются неизменными при таком действии. Более того, можно определить функцию на множестве, например, "радиус окружности на плоскости", и затем спросить, является ли эта функция инвариантной относительно действия группы, например, жестких движений. Двойственным к понятию инвариантов является понятие коинвариантов, также известных как орбиты, которое формализует понятие конгруэнтности: объекты, которые можно перевести друг в друга действием группы. Например, относительно группы жестких движений плоскости, периметр треугольника является инвариантом, а множество треугольников, конгруэнтных данному треугольнику, – коинвариантом. Связь между ними такова: инварианты постоянны на коинвариантах (например, конгруэнтные треугольники имеют одинаковый периметр), в то время как два объекта, совпадающие по значению одного инварианта, могут быть как конгруэнтными, так и неконгруэнтными (например, два треугольника с одинаковым периметром не обязательно конгруэнтны). В задачах классификации можно искать полный набор инвариантов, такой что если два объекта имеют одинаковые значения для этого набора инвариантов, то они конгруэнтны. Например, треугольники, у которых все три стороны равны, конгруэнтны при жестких движениях по признаку равенства трех сторон (SSS), и, следовательно, длины всех трех сторон образуют полный набор инвариантов для треугольников. Три угла треугольника также являются инвариантами при жестких движениях, но не образуют полного набора, поскольку неконгруэнтные треугольники могут иметь одинаковые углы. Однако, если допустить масштабирование в дополнение к жестким движениям, то критерий подобия по трем углам (AAA) показывает, что это полный набор инвариантов.

Неизменен при возмущении

В-третьих, если изучаемый объект меняется в семействе, как это часто встречается в алгебраической и дифференциальной геометрии, можно задаться вопросом, сохраняется ли данное свойство при небольших изменениях (возмущениях) – например, является ли объект постоянным на семействах или инвариантным относительно изменения метрики.