Кіріспе

Кем дегенде бір тұрақты нүктесі бар геометриялық симметриялар тобы. Гонконг аймағының туындағы Bauhinia blakeana гүлі C5 симметриясына ие; әрбір жапырақтағы жұлдыздың D5 симметриясы бар. Инь мен Ян символы кері түстермен геометриялық C2 симметриясына ие.

Геометрияда нүктелік топ – ортақ тұрақты нүктесі бар симметрия операцияларының (Евклид кеңістігіндегі изометриялар) математикалық тобы. Евклид кеңістігінің координаталар бастауы әдетте тұрақты нүкте ретінде қарастырылады, және d өлшемдегі әрбір нүктелік топ O(d) ортогональды топтың кіші тобы болып табылады. Нүктелік топтар геометриялық фигуралар мен молекулалар сияқты физикалық объектілердің симметриясын сипаттау үшін қолданылады. Әрбір нүктелік топты x нүктесін y нүктесіне 1=y = Mx формуласы бойынша түрлендіретін M ортогональ матрицалар жиынтығы ретінде көрсетуге болады. Нүктелік топтың әрбір элементі айналу (1=M анықтауышы = 1) немесе көрістіру немесе дұрыс емес айналу (1=M анықтауышы = −1) болып табылады. Кристаллдардың геометриялық симметриялары кеңістіктік топтармен сипатталады, олар аудармаларға мүмкіндік береді және нүктелік топтарды кіші топтар ретінде қамтиды. Бір өлшемнен артық дискреттік нүктелік топтар шексіз отбасыларда кездеседі, бірақ кристаллографиялық шектеу теоремасы және Бибербах теоремаларының бірінен әрбір өлшем саны үшін белгілі бір тор немесе торапта симметриялық нүктелік топтардың шекті саны бар. Бұл кристаллографиялық нүктелік топтар.

Хиральды және ахиральды нүктелік топтар, шағылысу топтары

Нүктелік топтарды хиральдық (немесе таза айналымдық) топтарға және ахиральдық топтарға жіктеуге болады. Хиральдық топтар – арнайы ортогональды топ SO(d)-ның кіші топтары болып табылады: олар тек бағытты сақтайтын ортогональды түрлендірулерді, яғни +1 детерминантты түрлендірулерді қамтиды. Ахиральдық топтарда -1 детерминантты түрлендірулер де кездеседі. Ахиральдық топта бағытты сақтайтын түрлендірулер индексі 2-ге тең (хиральдық) кіші топты құрайды. Коксетердің шекті топтары немесе шағылысу топтары – бір нүктеден өтетін шағылысу жазықтықтарының жиынтығы арқылы ғана туындайтын нүктелік топтар. n-рангты Коксетер тобында n жазықтық болады және ол Коксетер-Динкин диаграммасымен бейнеленеді. Коксетер нотациясы Коксетер диаграммасына эквивалентті жақшалы нотацияны ұсынады, сондай-ақ айналымдық және басқа да субсимметриялық нүктелік топтарды белгілеуге арналған символдарды қамтиды. Шағылысу топтары міндетті түрде ахиральды болады (тек сәйкестік элементінен тұратын тривиальды топтан басқа).