Введение

Группа геометрических симметрий с по крайней мере одной неподвижной точкой. Цветок Bauhinia blakeana на флаге Гонконга обладает симметрией C5, а звезда на каждом лепестке – симметрией D5. Символ Инь и Ян имеет C2 симметрию геометрии с инвертированными цветами.

В геометрии точечная группа – это математическая группа операций симметрии (изометрий в евклидовом пространстве), имеющих общую неподвижную точку. Начало координат евклидова пространства обычно принимается за неподвижную точку, и каждая точечная группа в d-мерном пространстве является подгруппой ортогональной группы O(d). Точечные группы используются для описания симметрий геометрических фигур и физических объектов, таких как молекулы. Каждая точечная группа может быть представлена набором ортогональных матриц M, преобразующих точку x в точку y по формуле y = Mx. Каждый элемент точечной группы является либо вращением (определитель M равен 1), либо отражением или несобственным вращением (определитель M равен −1). Геометрические симметрии кристаллов описываются пространственными группами, которые допускают трансляции и содержат точечные группы в качестве подгрупп. Дискретные точечные группы в более чем одном измерении образуют бесконечные семейства, но согласно теореме о кристаллографическом ограничении и одной из теорем Бибербаха, для каждого числа измерений существует лишь конечное число точечных групп, симметричных относительно некоторой решетки или сетки с данным числом измерений. Эти группы называются кристаллографическими точечными группами.

Хиральные и ахиральные точечные группы, отраженные группы

Точечные группы можно классифицировать на хиральные (или чисто ротационные) группы и ахиральные группы. Хиральные группы являются подгруппами специальной ортогональной группы SO(d): они содержат только сохраняющие ориентацию ортогональные преобразования, то есть преобразования с детерминантом +1. Ахиральные группы содержат также преобразования с детерминантом −1. В ахиральной группе сохраняющие ориентацию преобразования образуют (хиральную) подгруппу индекса 2. Конечные группы Коксетера, или группы отражений, – это точечные группы, которые порождаются исключительно набором плоскостей отражения, проходящих через одну и ту же точку. Группа Коксетера ранга n имеет n плоскостей отражения и представляется диаграммой Коксетера — Динкина. Коксетеровская нотация предлагает скобочную нотацию, эквивалентную диаграмме Коксетера, с символами маркировки для вращательных и других групп субсимметрии. Группы отражений обязательно являются ахиральными (за исключением тривиальной группы, содержащей только единичный элемент).