Брюхат ыдырауы – алгебралық топтарды жазылымдарға бөлу әдісі. Гаусс-Жордан жою принципімен байланысты, матрицаларды үшбұрышты матрицаларға жіктеуге көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, Брухат ыдырауы (классикалық топтар үшін Франсуа Брухат, ал жалпы жағдайда Клод Шевалье енгізді) – белгілі бір алгебралық топтардың G-сін ұяшықтарға G = BWB түрінде жіктеу, Гаусс-Жордан жою әдісінің жалпыланған түрі болып табылады. Бұл әдіс әдетте матрицаны жоғарғы және төменгі үшбұрышты матрицалардың көбейтіндісі түрінде жазады, бірақ ерекше жағдайлар да кездеседі. Ол флагтық сорттардың Шуберт ұяшықтарына ыдырауымен байланысты: толық ақпарат алу үшін Вейл тобын қараңыз. Кез келген (B, N) жұбына ие топтың Брухат ыдырауы болады.
In mathematics, the Bruhat decomposition (introduced by François Bruhat for classical groups and by Claude Chevalley in general) G = BWB of certain algebraic groups G into cells can be regarded as a general expression of the principle of Gauss–Jordan elimination, which generically writes a matrix as a product of an upper triangular and lower triangular matrices—but with exceptional cases. It is related to the Schubert cell decomposition of flag varieties: see Weyl group for this. More generally, any group with a (B, N) pair has a Bruhat decomposition.
Мысалдар
G – алгебралық жабық өрістегі жазулары бар инвертирленетін матрицалардың жалпы сызықтық тобы GLn болсын, бұл редуктивті топ. Содан кейін Вейл тобы W, n әріптегі симметриялық топ Sn-ге изоморфты, ал пермутация матрицалары өкілдер болып табылады. Бұл жағдайда B-ні жоғарғы үшбұрышты инвертирленетін матрицалардың кіші тобы деп аламыз, сондықтан Брухат ыдырауы кез келген инвертирленетін матрицаны U1PU2 көбейтіндісі түрінде жазуға болатынын айтады, мұнда U1 және U2 жоғарғы үшбұрышты, ал P – пермутация матрицасы. Бұл P = U1−1AU2−1 деп жазу арқылы, кез келген инвертирленетін матрицаны қатар және баған операциялары арқылы пермутация матрицасына түрлендіруге болады, мұнда тек i-ші қатарды (сәйкесінше i-ші бағанды) i > j (сәйкесінше i < j) болған жағдайда ғана j-ші қатарға (сәйкесінше j-ші бағанға) қосуға рұқсат етіледі. Қатар операциялары U1−1-ге, ал баған операциялары U2−1-ге сәйкес келеді. 1-ге тең детерминанты бар инвертирленетін матрицалардың арнайы сызықтық тобы SLn – жартылай жай топ, демек редуктивті. Бұл жағдайда W әлі де Sn симметриялық тобына изоморфты. Дегенмен, пермутация матрицасының детерминанты пермутацияның таңбасы болып табылады, сондықтан SLn-де тақ пермутацияны бейнелеу үшін нөлдік емес элементтердің біреуін 1 емес -1 деп алуға болады. Мұнда B – 1-ге тең детерминанты бар жоғарғы үшбұрышты матрицалардың кіші тобы, сондықтан осы жағдайдағы Брухат ыдырауының түсіндірілуі GLn жағдайына ұқсас.
Let G be the general linear group GLn of invertible matrices with entries in some algebraically closed field, which is a reductive group. Then the Weyl group W is isomorphic to the symmetric group Sn on n letters, with permutation matrices as representatives. In this case, we can take B to be the subgroup of upper triangular invertible matrices, so Bruhat decomposition says that one can write any invertible matrix A as a product U1PU2 where U1 and U2 are upper triangular, and P is a permutation matrix. Writing this as P = U1−1AU2−1, this says that any invertible matrix can be transformed into a permutation matrix via a series of row and column operations, where we are only allowed to add row i (resp. column i) to row j (resp. column j) if i > j (resp. i < j). The row operations correspond to U1−1, and the column operations correspond to U2−1. The special linear group SLn of invertible matrices with determinant 1 is a semisimple group, and hence reductive. In this case, W is still isomorphic to the symmetric group Sn. However, the determinant of a permutation matrix is the sign of the permutation, so to represent an odd permutation in SLn, we can take one of the nonzero elements to be −1 instead of 1. Here B is the subgroup of upper triangular matrices with determinant 1, so the interpretation of Bruhat decomposition in this case is similar to the case of GLn.
Геометрия
Брухат ыдырауындағы ұяшықтар флаг сорттарының Шуберт ыдырауымен сәйкес келеді. Ұяшықтардың өлшемдері Вейл тобындағы w сөзінің ұзындығына сай келеді. Поанкаре дуалдығы жасушалық ыдыраудың топологиясын, сонымен қатар Вейл тобының алгебрасын шектейді; мысалы, ең жоғары өлшемді жасуша бірегей (ол негізгі классқа сәйкес келеді) және Коксетер тобының ең ұзын элементімен байланысты.
The cells in the Bruhat decomposition correspond to the Schubert cell decomposition of flag varieties. The dimension of the cells corresponds to the length of the word w in the Weyl group. Poincaré duality constrains the topology of the cell decomposition, and thus the algebra of the Weyl group; for instance, the top dimensional cell is unique (it represents the fundamental class), and corresponds to the longest element of a Coxeter group.
Есептеулер
Брухат ыдырауының белгілі бір өлшемдегі ұяшықтарының саны – сәйкес Динкин диаграммасының q полиномының коэффициенттерімен анықталады.
The number of cells in a given dimension of the Bruhat decomposition are the coefficients of the q polynomial of the associated Dynkin diagram.