Введение

В математике разложение Брухата (введённое Франсуа Брухатом для классических групп и Клодом Шевалье в общем случае) G = BWB определенных алгебраических групп G на ячейки можно рассматривать как обобщение принципа исключения Гаусса — Жордана, который в общем виде представляет матрицу в виде произведения верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц, но с некоторыми исключениями. Оно связано с разложением Шуберта клеток на флаговых многообразиях: подробнее см. в статье о группе Вейля. В более общем плане, любая группа с парой (B, N) имеет разложение Брухата.

Примеры

Пусть G — общая линейная группа GLn инвертируемых матриц с элементами в некотором алгебраически замкнутом поле, являющемся редуктивной группой. Тогда группа Вейля W изоморфна симметричной группе Sn на n элементах, с матрицами перестановок в качестве представителей. В этом случае можно взять B за подгруппу верхнетреугольных инвертируемых матриц, тогда разложение Брухата утверждает, что любую инвертируемую матрицу A можно представить в виде произведения U1PU2, где U1 и U2 — верхнетреугольные матрицы, а P — матрица перестановки. Записывая это как P = U1−1AU2−1, получаем, что любую инвертируемую матрицу можно преобразовать в матрицу перестановки посредством последовательности элементарных операций над строками и столбцами, при этом разрешено прибавлять к строке j строку i (соответственно, к столбцу j столбец i), если i > j (соответственно, i < j). Операции над строками соответствуют U1−1, а операции над столбцами — U2−1. Специальная линейная группа SLn инвертируемых матриц с определителем 1 является полупростой группой и, следовательно, редуктивной. В этом случае W по-прежнему изоморфна симметричной группе Sn. Однако определитель матрицы перестановки равен знаку перестановки, поэтому для представления нечётной перестановки в SLn можно взять один из ненулевых элементов равным −1 вместо 1. Здесь B — подгруппа верхнетреугольных матриц с определителем 1, поэтому интерпретация разложения Брухата в этом случае аналогична случаю GLn.

Геометрия

Клетки в разложении Брухата соответствуют разложению Шуберта клеток флаговых многообразий. Размерность клеток соответствует длине слова w в группе Вейля. Двойственность Пуанкаре накладывает ограничения на топологию декомпозиции на ячейки и, следовательно, на алгебру группы Вейля; например, ячейка максимальной размерности единственна (она представляет фундаментальный класс) и соответствует самому длинному элементу группы Коксетера.

Расчеты

Количество ячеек в заданном измерении разложения Брухата — это коэффициенты q-полинома, соответствующего диаграмме Динкина.