Введение

Число в десятичной системе счисления

Десятичная система счисления (также называемая десятичной позиционной системой счисления и денарной или деканарной) — стандартная система для обозначения целых и дробных чисел. Она является расширением индусско-арабской системы счисления на дробные числа (десятичные дроби). Способ обозначения чисел в десятичной системе часто называют десятичной записью. Десятичное число (также часто просто «десятичное» или, менее корректно, «десятичное число») обычно относится к представлению числа в десятичной системе счисления. Десятичные числа иногда идентифицируются десятичным разделителем (обычно «.» или «,» как в 25,9703 или 3,1415). Под «десятичными» также могут подразумеваться цифры, следующие за десятичным разделителем, например, в выражении «3,14 является приближением к числу π с точностью до двух десятичных знаков». Нулевые цифры после десятичного разделителя указывают на точность значения. Числа, которые можно представить в десятичной системе, называются десятичными дробями. То есть, это дроби вида a/10^(n), где a — целое число, а n — неотрицательное целое число. Десятичные дроби также могут быть получены путем сложения целого числа и дробной части; полученная сумма иногда называется дробным числом. Десятичные числа обычно используются для приближения действительных чисел. Увеличивая количество цифр после десятичного разделителя, можно уменьшить погрешность приближения до желаемого значения, при наличии метода вычисления новых цифр. Изначально и в большинстве случаев десятичное число имеет конечное количество цифр после десятичного разделителя. Однако десятичная система была расширена для представления любых действительных чисел с помощью бесконечных десятичных дробей, используя бесконечную последовательность цифр после десятичного разделителя (см. десятичное представление). В этом контексте обычные десятичные дроби с конечным числом ненулевых цифр после десятичного разделителя иногда называют конечными десятичными дробями. Периодическая десятичная дробь — это бесконечная десятичная дробь, которая после определенного места повторяет одну и ту же последовательность цифр бесконечно (например, 0,(3)). Бесконечная десятичная дробь представляет собой рациональное число, то есть отношение двух целых чисел, тогда и только тогда, когда она является периодической или имеет конечное число ненулевых цифр.

Происхождение

Многие системы счисления древних цивилизаций использовали десять и его степени для представления чисел, вероятно, потому, что на двух руках десять пальцев, и люди начали считать, используя их. Примерами служат, прежде всего, египетские числа, затем числа Брахми, греческие числа, еврейские числа, римские числа и китайские числа. В этих старых системах счисления было сложно представлять очень большие числа, и только лучшие математики могли умножать или делить большие числа. Эти трудности были полностью преодолены с введением индусско-арабской системы счисления для представления целых чисел. Эта система была расширена для представления некоторых нецелых чисел, называемых десятичными дробями или десятичными числами, что привело к формированию десятичной системы счисления.

Десятичная нотация

Для записи чисел десятичная система использует десять десятичных цифр, десятичный разделитель и, для отрицательных чисел, знак минуса "−". Десятичные цифры – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; десятичным разделителем является точка "." во многих странах (преимущественно англоязычных) и запятая "," в других странах. Например, десятичные выражения 0.1, 0.01, 0.001 и 0.0001 представляют собой дроби 1/10, 1/100, 1/1000 и 1/10000 соответственно и, следовательно, обозначают десятичные дроби. Примером дроби, которую нельзя представить десятичным выражением (с конечным числом знаков), является 1/3, так как 3 не является степенью 10. В более общем случае, десятичное число с n знаками после разделителя (точки или запятой) представляет собой дробь со знаменателем 10^n, числителем которой является целое число, полученное удалением разделителя. Отсюда следует, что число является десятичной дробью тогда и только тогда, когда оно имеет конечное десятичное представление. В виде полностью несократимых дробей, десятичные числа – это числа, знаменатель которых является произведением степени 2 и степени 5. Таким образом, наименьшие знаменатели десятичных чисел – это…

Приближение с использованием десятичных чисел

Десятичные числа не позволяют точно представить все действительные числа. Тем не менее, они позволяют приблизить любое действительное число с любой желаемой точностью, например, десятичная дробь 3.14159 приближает число π, отклоняясь от него не более чем на 10⁻⁵; поэтому десятичные числа широко используются в науке, технике и повседневной жизни. Более точно, для любого действительного числа x и любого положительного целого числа n, существуют две десятичные дроби L и u, содержащие не более n знаков после десятичной точки, такие что L ≤ x ≤ u и u − L = 10⁻ⁿ. Числа очень часто получают в результате измерений. Поскольку измерения подвержены погрешности, имеющей известную верхнюю границу, результат измерения хорошо представляется десятичной дробью с n знаками после десятичной точки, если абсолютная погрешность измерения ограничена сверху 10⁻ⁿ. На практике результаты измерений часто приводятся с определенным числом знаков после запятой, которые указывают на границы погрешности. Например, хотя 0,080 и 0,08 обозначают одно и то же число, десятичная дробь 0,080 подразумевает измерение с погрешностью менее 0,001, в то время как дробь 0,08 указывает на абсолютную погрешность, ограниченную 0,01. В обоих случаях истинное значение измеряемой величины может быть, например, 0,0803 или 0,0796 (см. также значимые цифры).

Рациональные числа

Длинное деление позволяет вычислить бесконечное десятичное представление рационального числа. Если рациональное число является десятичной дробью, деление в конечном итоге прекращается, давая десятичное число, которое можно продолжить в бесконечное представление, добавляя бесконечное количество нулей. Если рациональное число не является десятичной дробью, деление может продолжаться бесконечно. Однако, поскольку все последующие остатки меньше делителя, существует лишь конечное число возможных остатков, и после некоторого момента одна и та же последовательность цифр должна повторяться бесконечно в частном. То есть, получается периодическая десятичная дробь. Например, 1/81 = 0,012345679012 (где группа 012345679 повторяется бесконечно). Обратное также верно: если в десятичной записи числа в какой-то момент начинает бесконечно повторяться одна и та же группа цифр, то число является рациональным. Например, если x = 0,4156156156, то 10000x = 4156,156156156 и 10x = 4,156156156, следовательно, 10000x − 10x, то есть 9990x, равно 4152,000000000, и x равно 4152/9990, или, сократив числитель и знаменатель на 6, 692/1665.

Вычисление в десятичных числах

Большинство современных компьютерных аппаратных и программных систем обычно используют двоичное представление внутри (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650, использовали десятичное представление внутри). Для внешнего использования специалистами по вычислительной технике это двоичное представление иногда представляется в соответствующих октальной или шестнадцатеричной системах. Однако для большинства целей двоичные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения для представления или ввода пользователем; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичном виде. (Например, 123.1 записывается именно так в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не могут точно закодировать это число.) И аппаратное, и программное обеспечение компьютера также используют внутренние представления, которые фактически являются десятичными, для хранения десятичных значений и выполнения арифметических операций. Часто эта арифметика выполняется над данными, закодированными с использованием некоторого варианта двоично-десятичного кода, особенно в реализациях баз данных, но используются и другие десятичные представления (включая десятичную арифметику с плавающей точкой, например, в более новых редакциях стандарта IEEE 754 для арифметики с плавающей точкой). Десятичная арифметика используется в компьютерах для того, чтобы десятичные дробные результаты сложения (или вычитания) значений с фиксированной длиной дробной части всегда вычислялись с той же степенью точности. Это особенно важно для финансовых расчетов, например, требующих, чтобы результаты были выражены в виде целых кратных наименьшей денежной единицы для целей бухгалтерского учета. Это невозможно в двоичной системе, поскольку отрицательные степени десятичной дроби не имеют конечного двоичного представления; и, как правило, невозможно при умножении (или делении). Подробнее о точных вычислениях см. в разделе «Арифметика произвольной точности».

Естественные языки

В Индии появился метод выражения всех возможных натуральных чисел с помощью набора из десяти символов. В нескольких индийских языках используется простая десятичная система. В дравидских языках числа от 10 до 20 выражаются по регулярной схеме добавления к 10. Венгерский язык также использует простую десятичную систему. Все числа между 10 и 20 формируются регулярно (например, 11 выражается как "tizenegy", что буквально означает "один на десять"), как и числа между 20 и 100 (23 как "huszonhárom" = "три на двадцать"). В китайском и вьетнамском языках (с некоторыми отклонениями) встречается простая десятичная система рангов со словом для каждого разряда (10 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万), в которой 11 выражается как десять один, а 23 как два десять три, а 89 345 – как 8 (десять тысяч) 万 9 (тысяча) 千 3 (сто) 百 4 (десятка) 十 5. Японский, корейский и тайский языки заимствовали китайскую десятичную систему. Многие другие языки с десятичной системой имеют специальные слова для чисел от 10 до 20 и для десятков. Например, в английском языке 11 – это "eleven", а не "ten one" или "one teen". В языках инков, таких как кечуа и аймара, существует почти простая десятичная система, в которой 11 выражается как десять с единицей, а 23 – как две десятки с тремя. Некоторые психологи предполагают, что нерегулярность названий чисел в английском языке может затруднять способность детей к счету.

Другие основания

Некоторые культуры использовали или используют другие системы счисления. Доколумбовые мезоамериканские культуры, такие как майя, использовали систему с основанием 20 (возможно, основанную на использовании всех двадцати пальцев рук и ног). Язык юки в Калифорнии и языки памеан в Мексике имеют восьмеричную систему (основание 8), поскольку их носители считают, используя промежутки между пальцами, а не сами пальцы. О существовании недесятичной системы счисления в самых ранних следах германских языков свидетельствуют слова и глоссы, означающие, что счёт ведётся по десятичному принципу (родственные словам "десятичный счёт" или "счёт по десяткам"); подобное можно было бы ожидать, если бы обычный счёт не был десятичным, и это было бы необычно, если бы он был. Там, где эта система счисления известна, она основана на "длинной сотне" = 120 и "длинной тысяче" = 1200. Обозначения вроде "длинной" появляются только после того, как "малая сотня" в 100 появилась у христиан. Введение Гордона в древненорвежский язык, стр. 293, приводит названия чисел, относящиеся к этой системе. Выражение, родственное "сто восемьдесят", переводится как 200, а выражение, родственное "двести", переводится как 240. Гудар подробно описывает использование длинной сотни в Шотландии в Средние века, приводя примеры расчётов, где перенос подразумевает, что i C (то есть сто) равно 120 и т. д. Тот факт, что широкая публика не была обеспокоена встречей с такими числами, говорит об их достаточно широком использовании. Также можно избежать чисел, подобных сотням, используя промежуточные единицы, такие как камни и фунты, вместо длинного счёта фунтов. Гудар приводит примеры чисел, таких как vii score, где сотня избегается путём использования расширенных счетов. Существует также статья У. Х. Стивенсона под названием «Длинная сотня и её использование в Англии». Многие или все языки чумашан изначально использовали систему счисления с основанием 4, в которой названия чисел были структурированы в соответствии с кратными 4 и 16. Многие языки используют пятеричные системы счисления (основание 5), включая гуматдж, нунгубую, куурн копан ноот и саравека. Из них гуматдж — единственный известный истинный язык с основанием 5–25, в котором 25 является высшей группой из 5. Некоторые нигерийцы используют двенадцатеричные системы. То же самое делали некоторые небольшие общины в Индии и Непале, что подтверждается их языками. Сообщается, что язык хули в Папуа — Новой Гвинее имеет числа с основанием 15. Ngui означает 15, ngui ki означает 15 × 2 = 30, а ngui ngui означает 15 × 15 = 225. Умбу унгу, также известный как каколи, имеет числа с основанием 24. Tokapu означает 24, tokapu talu означает 24 × 2 = 48, а tokapu tokapu означает 24 × 24 = 576. Сообщается, что у нгити есть система счисления с основанием 32 с циклами на основе 4. Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36, а nif thef означает 36 × 2 = 72.