Кіріспе
Топология саласында қолтаңба – төртке бөлінетін өлшемді бағдарланған көпқырлы M үшін анықталатын бүтін сан инварианты. Бұл көпқырлының инварианты Роклиннің 4-көпқырлыларға арналған теоремасынан және Хирцебрухтың қолтаңба теоремасынан бастап жан-жақты зерттелді.
Басқа өлшемдер
Егер M өлшемді 4-ке бөлінбесе, оның қолтаңбасы әдетте 0 деп анықталады. L теориясында баламалы кеңейтулер бар: қолтаңбаны 4k өлшемді (жай ғана байланысқан) симметриялық L тобы немесе 4k өлшемді квадратикалық L тобы ретінде қарастыруға болады, және бұл инварианттар басқа өлшемдер үшін міндетті түрде нөлдік емес болуы мүмкін. Керваир инварианты – 4k+2 өлшемді (квадраттық L тобы) жақтауланған манифольдтардың mod 2 (яғни, элементі) инварианты, ал де Рэм инварианты – 4k+1 өлшемді манифольдтардың mod 2 инварианты (симметриялық L тобы); қалған өлшемді L топтары жоғалады.
Кервайр инварианты
Екі рет тақ сан (дара жұп сан) болғанда, дәл осы құрылым антисимметриялық билинейрлік форманы тудырады. Мұндай формалардың қолтаңба инварианты болмайды; егер олар дегенерацияланбаған болса, кез келген екі мұндай форма эквивалентті болады. Дегенмен, егер форманың квадратикалық нақтылауын алсақ, яғни кадрланған көпқырлылық болса, онда пайда болатын ε квадратикалық формалар эквивалентті болуы міндетті емес, олар Арф инвариантымен ажыратылады. Көпқырлылықтың нәтижесінде алынған инвариант Керваир инварианты деп аталады.
Қасиеттері
Компактты бағдарланған коллекторлар M және N анықтама бойынша қанағаттандырылады және Кюннетт формуласымен қанағаттандырылады. Егер M бағдарланған шекара болса, онда Рене Том (1954) көптіктің қолтаңбасы кобордизм инварианты екенін көрсетті, және оның Понтрягин сандарының сызықтық комбинациясы арқылы беріледі. Мысалы, төрт өлшемде Фридрих Хирцебрюх (1954) осы сызықтық комбинацияның нақты өрнегін көптіктің L роды ретінде тапты. Уильям Браудер (1962) 4n өлшемді Пуанкаре дуалдылығына ие жай байланысқан компактты полиэдр гомотопиялық түрде көптікке тең екенін дәлелдеді, егер оның қолтаңбасы Хирцебрухтың қолтаңба теоремасының өрнегін қанағаттандырса ғана. Роклин теоремасы спин құрылымы бар 4 өлшемді жай байланысқан көптіктің қолтаңбасы 16-ға бөлінеді дейді.
René Thom (1954) showed that the signature of a manifold is a cobordism invariant, and in particular is given by some linear combination of its Pontryagin numbers. For example, in four dimensions, it is given by Friedrich Hirzebruch (1954) found an explicit expression for this linear combination as the L genus of the manifold. William Browder (1962) proved that a simply connected compact polyhedron with 4n dimensional Poincaré duality is homotopy equivalent to a manifold if and only if its signature satisfies the expression of the Hirzebruch signature theorem. Rokhlin's theorem says that the signature of a 4 dimensional simply connected manifold with a spin structure is divisible by 16.