Введение
В области топологии, сигнатура является целочисленным инвариантом, который определяется для ориентированного многообразия M размерности, кратной четырём. Этот инвариант многообразия был детально изучен, начиная с теоремы Рохлина для 4-многообразий и теоремы о сигнатуре Хирцебруха.
Другие размеры
Если размерность M не делится на 4, её сигнатура обычно определяется как 0. В теории L существуют альтернативные обобщения: сигнатуру можно интерпретировать как симметричную L-группу размерности 4k (просто связную) или как квадратичную L-группу размерности 4k, и эти инварианты не всегда обращаются в нуль для других размерностей. Инвариант Керваера является инвариантом по модулю 2 (то есть элементом поля ℤ₂ ) для обрамлённых многообразий размерности 4k+2 (квадратичная L-группа), в то время как инвариант де Рама является инвариантом по модулю 2 многообразий размерности 4k+1 (симметричная L-группа); L-группы других размерностей равны нулю.
Инвариант Кервайра
Когда удвоенное нечетное целое число (одиночно четное), та же конструкция приводит к антисимметричной билинейной форме. Такие формы не имеют инварианта подписи; если они невырожденные, любые две такие формы эквивалентны. Однако, если взять квадратичное уточнение формы, которое возникает при наличии обрамленного многообразия, то результирующие ε-квадратичные формы не обязаны быть эквивалентными и различаются инвариантом Арфа. Полученный инвариант многообразия называется инвариантом Керваера.
Свойства
Компактные ориентированные многообразия M и N удовлетворяют по определению и удовлетворяют формуле Кюннета. Если M является ориентированной границей, то Рене Том (1954) показал, что сигнатура многообразия является инвариантом кобордизма и, в частности, задается некоторой линейной комбинацией его чисел Понтрягина. Например, в четырех измерениях Фридрих Хирцебрух (1954) нашел явное выражение для этой линейной комбинации в виде L-рода многообразия. Уильям Браудер (1962) доказал, что простосвязный компактный многогранник с 4n-мерной двойственностью Пуанкаре гомотопически эквивалентен многообразию тогда и только тогда, когда его сигнатура удовлетворяет выражению из теоремы о сигнатуре Хирцебруха. Теорема Рохлина утверждает, что сигнатура 4-мерного простосвязного многообразия со спиновой структурой делится на 16.
René Thom (1954) showed that the signature of a manifold is a cobordism invariant, and in particular is given by some linear combination of its Pontryagin numbers. For example, in four dimensions, it is given by Friedrich Hirzebruch (1954) found an explicit expression for this linear combination as the L genus of the manifold. William Browder (1962) proved that a simply connected compact polyhedron with 4n dimensional Poincaré duality is homotopy equivalent to a manifold if and only if its signature satisfies the expression of the Hirzebruch signature theorem. Rokhlin's theorem says that the signature of a 4 dimensional simply connected manifold with a spin structure is divisible by 16.