Кіріспе
Алгебралық құрылым тікелей қосындыға жіктеледі. Математикада, сыныпталған векторлық кеңістік – бұл векторлық кеңістіктің сыныпталу немесе градация құрылымымен жабдықталған векторлық кеңістік, яғни векторлық кеңістіктің векторлық кіші кеңістіктердің тікелей қосындысына жіктелуі, көбінесе бүтін сандармен индекстеледі. "Таза" векторлық кеңістіктер үшін бұл ұғым гомологиялық алгебрада енгізілді және қосымша құрылымдары бар сыныпталған векторлық кеңістіктер болып табылатын сыныпталған алгебраларды зерттеуде кеңінен қолданылады.
In mathematics, a graded vector space is a vector space that has the extra structure of a grading or gradation, which is a decomposition of the vector space into a direct sum of vector subspaces, generally indexed by the integers. For "pure" vector spaces, the concept has been introduced in homological algebra, and it is widely used for graded algebras, which are graded vector spaces with additional structures.
Бүкіл сандар жіктелуі
Берілген нөл емес бүтін сандар жиыны болсын. Градиенттелген векторлық кеңістік, көбінесе префиксіз жай ғана градиенттелген векторлық кеңістік деп аталады, – бұл V векторлық кеңістігі, оның келесідей тікелей қосындыға жіктелуімен бірге:
мұнда әрқайсысы Vₙ – векторлық кеңістік. Белгілі бір n үшін Vₙ элементтері n дәрежелі гомогенді элементтер деп аталады.
Градиенттелген векторлық кеңістіктер жиі кездеседі. Мысалы, бір немесе бірнеше айнымалыдағы барлық көпмүшелер жиыны градиенттелген векторлық кеңістік құрайды, мұнда n дәрежелі гомогенді элементтер – дәл n дәрежелі мономиалдардың сызықтық комбинациялары.
Жалпы сыныптама
Градиенттелген векторлық кеңістіктің кіші кеңістіктері міндетті түрде натурал сандар жиынымен индекстелуі керек емес, олар кез келген I жиынының элементтерімен индекстелуі мүмкін. I-градиенттелген векторлық кеңістік V – бұл I жиынының i элементтерімен индекстелген кіші кеңістіктердің тікелей қосындысына жіктелген векторлық кеңістік:
Осылайша, жоғарыда анықталған градиенттелген векторлық кеңістік – бұл I жиыны натурал сандар жиыны болатын I-градиенттелген векторлық кеңістік. I жиыны сақина (0 және 1 элементтері) болған жағдайда физикада ерекше маңызға ие. Градиенттелген векторлық кеңістік супервекторлық кеңістік деп те аталады.