Введение
Алгебраическая структура, разложенная в прямую сумму
В математике градуированное векторное пространство — это векторное пространство, наделённое дополнительной структурой градуировки, представляющей собой разложение векторного пространства в прямую сумму векторных подпространств, обычно индексируемых целыми числами. Для "чистых" векторных пространств эта концепция была введена в гомологической алгебре и широко используется для градуированных алгебр, которые являются градуированными векторными пространствами с дополнительными структурами.
Градация целых чисел
Пусть $\mathbb{N}$ будет множеством неотрицательных целых чисел. Градуированное векторное пространство, часто называемое просто градуированным векторным пространством без приставки "градуированным", — это векторное пространство $V$ вместе с разложением в прямую сумму вида
where each is a vector space. For a given n the elements of are then called homogeneous elements of degree n.
Graded vector spaces are common. For example the set of all polynomials in one or several variables forms a graded vector space, where the homogeneous elements of degree n are exactly the linear combinations of monomials of degree n.
$V = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} V_n$,
where each is a vector space. For a given n the elements of are then called homogeneous elements of degree n.
Graded vector spaces are common. For example the set of all polynomials in one or several variables forms a graded vector space, where the homogeneous elements of degree n are exactly the linear combinations of monomials of degree n.
где каждое $V_n$ является векторным пространством. Для заданного $n$ элементы $V_n$ называются однородными элементами степени $n$.
where each is a vector space. For a given n the elements of are then called homogeneous elements of degree n.
Graded vector spaces are common. For example the set of all polynomials in one or several variables forms a graded vector space, where the homogeneous elements of degree n are exactly the linear combinations of monomials of degree n.
Градуированные векторные пространства встречаются часто. Например, множество всех многочленов от одной или нескольких переменных образует градуированное векторное пространство, где однородные элементы степени $n$ — это линейные комбинации мономов степени $n$.
where each is a vector space. For a given n the elements of are then called homogeneous elements of degree n.
Graded vector spaces are common. For example the set of all polynomials in one or several variables forms a graded vector space, where the homogeneous elements of degree n are exactly the linear combinations of monomials of degree n.
Общая градация
Подпространства градуированного векторного пространства не обязательно должны индексироваться множеством натуральных чисел, они могут индексироваться элементами любого множества I. Градуированное по I векторное пространство V — это векторное пространство вместе с разложением в прямую сумму подпространств, индексированных элементами i множества I. Следовательно, градуированное векторное пространство, как определено выше, является просто градуированным по I векторным пространством, где множество I — это множество натуральных чисел. Случай, когда I — это кольцо (элементы 0 и 1), особенно важен в физике. Градуированное по кольцу векторное пространство также известно как супервекторное пространство.
Therefore, an graded vector space, as defined above, is just an I graded vector space where the set I is (the set of natural numbers). The case where I is the ring (the elements 0 and 1) is particularly important in physics. A graded vector space is also known as a supervector space.