Кіріспе
Статистикалық механикада Изинг моделін жалпылайтын модель. Статистикалық механикада Изинг моделінің жалпылауы болып табылатын Поттс моделі – кристалдық тордағы өзара әрекеттесетін спиндердің моделі. Поттс моделін зерттеу арқылы ферромагниттердің мінез-құлқы мен қатты дене физикасының басқа да құбылыстарын түсінуге болады. Поттс моделінің артықшылығы оның физикалық жүйелерді жақсы модельдеуімен емес, бір өлшемді жағдайының нақты шешілуімен және бай математикалық тұжырымдамасымен байланысты. Модель 1951 жылғы Ph.D. жұмысының соңында сипаттаған Ренфри Поттс есімімен аталған. Оның ғылыми жетекшісі Сирил Домб оған «планарлық Поттс» немесе «сағат моделі» ұсынған. Төрт күйлі Поттс моделі кейде 1943 жылы эквивалентті модельді қарастырған Джулиус Эшкин мен Эдвард Теллердің есімімен Ашкин-Теллер моделі деп аталады. Поттс моделі басқа бірнеше модельдермен байланысты және олармен жалпыландырылады, соның ішінде XY моделі, Хайзенберг моделі және N векторлық моделі. Шеңберлік диапазонды Поттс моделі Как моделі деп аталады. Егер спиндер Абельдік емес өзара әрекеттесуге қатысса, модель кванттық хромодинамикадағы конфайнментті талқылау үшін қолданылатын флюс түтігі моделімен байланысты. Поттс моделінің жалпыламалары металдардағы дән өсуін, көбіктердегі қалыңдануды және ақуыздардың статистикалық қасиеттерін модельдеу үшін де қолданылған. Ол көбіктердегі және биологиялық морфогенездегі статикалық және кинетикалық құбылыстарды модельдеуге пайдаланылды.
In statistical mechanics, the Potts model, a generalization of the Ising model, is a model of interacting spins on a crystalline lattice. By studying the Potts model, one may gain insight into the behaviour of ferromagnets and certain other phenomena of solid state physics. The strength of the Potts model is not so much that it models these physical systems well; it is rather that the one dimensional case is exactly solvable, and that it has a rich mathematical formulation that has been studied extensively. The model is named after Renfrey Potts, who described the model near the end of his 1951 Ph. D. thesis. The model was related to the "planar Potts" or "clock model", which was suggested to him by his advisor, Cyril Domb. The four state Potts model is sometimes known as the Ashkin–Teller model, after Julius Ashkin and Edward Teller, who considered an equivalent model in 1943. The Potts model is related to, and generalized by, several other models, including the XY model, the Heisenberg model and the N vector model. The infinite range Potts model is known as the Kac model. When the spins are taken to interact in a non Abelian manner, the model is related to the flux tube model, which is used to discuss confinement in quantum chromodynamics. Generalizations of the Potts model have also been used to model grain growth in metals, coarsening in foams, and statistical properties of proteins. has been used to simulate static and kinetic phenomena in foam and biological morphogenesis.
Жалпыланған Поттс моделі
Поттс моделінің жалпылауы статистикалық қорытындылауда және биофизикада, әсіресе белоктарды тікелей жұптастыру талдауы арқылы модельдеуде жиі қолданылады. Бұл жалпыланған Поттс моделі әрқайсысы реттелмеген күйлерді қабылдай алатын "спиндерден" тұрады. Гамильтониан былай жазылады:
мұндағы – спиннің күйде болуының энергетикалық құны, ал – спиннің күйде болуының энергетикалық құны. Ескерту: Бұл модель Шеррингтон-Киркпатрик моделіне ұқсас, себебі байланыстар әртүрлі және локальды емес болуы мүмкін. Бұл модельде нақты торлы құрылым қарастырылмаған.
Фазалық ауысулар
Физикалық жүйенің моделі ретінде қарапайымдылығына қарамастан, Поттс моделі фазалық өтулерді зерттеу үшін үлгілік жүйе ретінде пайдалы. Мысалы, стандартты ферромагниттік Поттс моделі үшін, барлық нақты мәндерінде фазалық өту бар, оның сындық нүктесі . Фазалық өту мәндерінде үздікес (екінші реттік) және мәндерінде үзіліссіз (бірінші реттік) болады. Сағат моделі үшін, сәйкес фазалық өтулер шексіз реттік BKT өтулері екендігіне дәлелдер бар, және екі түрлі күйде қарама-қарсы шекараларды бекіткенде қызықты сыналғылы қасиеттері байқалады.
For the clock model, there is evidence that the corresponding phase transitions are infinite order BKT transitions, with intriguing critical wetting properties when fixing opposite boundaries in two different states .
Кездейсоқ кластерлік модельмен байланыс
Поттс моделі статистикалық механикадағы Фортуин-Кастелейн кездейсоқ кластерлік моделімен тығыз байланысты. Бұл байланысты түсіну модельді сандық зерттеу үшін тиімді Марков тізбектік Монте-Карло әдістерін жасауға көмектесті және модельдің сын температурасын қатаң дәлелдеуге мүмкіндік берді. Бұл бөлініс функциясын былай қайта жазуға әкеледі:
мұнда кластерлер – жабық сегменттердің бірігісінің байланысты компоненттері. Бұл ашық жиектік ықтималдығы бар кездейсоқ кластерлік модельдің бөлініс функциясына пропорционалды. Кездейсоқ кластерлік формуланың артықшылығы – бұл мән табиғи бүтін сан емес, кез келген күрделі сан болуы мүмкін.
Іс-шараның теориялық сипаттамасы
Бір өлшемді Поттс моделі шекті типтегі субсдвиг ретінде өрнектелуі мүмкін, осылайша осы формализмге байланысты барлық математикалық құралдарға қол жеткізеді. Атап айтқанда, оны трансфер операторларының әдістерін қолдану арқылы нақты шешуге болады. (Дегенмен, Эрнст Исинг өзінің 1924 жылғы PhD диссертациясында Поттс моделінің "алдындағысы" саналатын Исинг моделін шешу үшін комбинаторлық әдістерді қолданған). Осы бөлім осы шешімнің негізінде жатқан, өлшемдер теориясына сүйенген математикалық формализмді дамытады. Төмендегі мысал бір өлшемді жағдай үшін жасалғанмен, көптеген дәлелдер және дерлік барлық белгілер кез келген өлшемге оңай жалпыланады. Кейбір формализмдер XY моделі, Гейзенберг моделі және N векторлық модель сияқты туыс модельдерді де қарастыруға жетеді.
Сигнал және бейне өңдеу
Поттс моделі сигналды қайта құруда қолданылады. Rn кеңістігіндегі g бөлшекті тұрақты сигналдың шулы байқауы берілген деп есептейік. Rn кеңістігіндегі шулы бақылау векторы f бойынша g сигналын қалпына келтіру үшін, сәйкес кері мәселенің Lp Поттс функционалы Pγ(u) минимализаторы іздестіріледі, ол былай анықталады:
Секундық өтімділіктің айыбы бөлшекті тұрақты шешімдерге итермелейді, ал деректер мүшесі минималдау үміткері u-ді деректер f-пен байланыстырады. γ > 0 параметрі жүйелілік пен деректердің дұрыстығы арасындағы тепе-тәуелділікті реттейді. L1 және L2 Поттс функционалдарды дәл азайту үшін жылдам алгоритмдер бар. Бейне өңдеуде Поттс функционалы сегментация мәселесімен байланысты. Дегенмен, екі өлшемде бұл мәселе NP-қиын.