Введение

Модель в статистической механике, обобщающая модель Изинга. В статистической механике модель Поттса, являющаяся обобщением модели Изинга, представляет собой модель взаимодействующих спинов на кристаллической решетке. Изучение модели Поттса позволяет получить представление о поведении ферромагнетиков и некоторых других явлениях физики твердого тела. Сила модели Поттса заключается не столько в точности моделирования этих физических систем, сколько в том, что одномерный случай имеет точное решение, и что она обладает богатой математической формулировкой, которая была всесторонне изучена. Модель названа в честь Ренфри Поттса, который описал ее в конце своей диссертации 1951 года. Эта модель была связана с "планарной моделью Поттса" или "моделью часов", предложенной его научным руководителем Сирилом Домбом. Четырехсостоятельная модель Поттса иногда называется моделью Ашкина — Теллера, в честь Джулиуса Ашкина и Эдварда Теллера, которые рассмотрели эквивалентную модель в 1943 году. Модель Поттса связана и обобщается рядом других моделей, включая модель XY, модель Гейзенберга и N-векторную модель. Модель Поттса с бесконечным радиусом действия известна как модель Каца. Если спины взаимодействуют неабелевым образом, модель связана с моделью флюкстуба, используемой для обсуждения конфайнмента в квантовой хромодинамике. Обобщения модели Поттса также применялись для моделирования роста зерен в металлах, коагуляции в пенах и статистических свойств белков, а также для моделирования статических и кинетических явлений в пене и биологическом морфогенезе.

Обобщенная модель Потта

Обобщение модели Поттса часто используется в статистическом выводе и биофизике, особенно для моделирования белков посредством анализа прямого связывания. Эта обобщенная модель Поттса состоит из "спинов", каждый из которых может принимать одно из состояний (без какого-либо определенного порядка). Гамильтониан имеет вид:

где – энергетическая стоимость того, что спин находится в состоянии , а спин – в состоянии , а – энергетическая стоимость того, что спин находится в состоянии . Примечание: Эта модель напоминает модель Шеррингтона-Киркпатрика тем, что связи могут быть неоднородными и нелокальными. В этой модели отсутствует явная решетчатая структура.

Фазовые переходы

Несмотря на свою простоту как модель физической системы, модель Поттса полезна в качестве модельной системы для изучения фазовых переходов. Например, для стандартной ферромагнитной модели Поттса в d измерениях, фазовый переход существует при всех действительных значениях K, с критической точкой в Kc. Фазовый переход непрерывный (второго рода) при K < Kc и разрывный (первого рода) при K > Kc. Для часовой модели имеются данные, свидетельствующие о том, что соответствующие фазовые переходы являются BKT-переходами бесконечного порядка, обладающими интересными критическими свойствами смачивания при фиксации противоположных границ в двух различных состояниях.

Отношение к модели случайных кластеров

Модель Поттса тесно связана с моделью случайных кластеров Фортуина-Кастелейна, другой моделью в статистической механике. Понимание этой связи способствовало разработке эффективных методов Монте-Карло на основе цепей Маркова для численного исследования модели при малых значениях параметра и привело к строгому доказательству критической температуры модели. Это позволяет переписать функцию разделения как

где кластеры – это связные компоненты объединения замкнутых сегментов. Это пропорционально функции разделения модели случайных кластеров с вероятностью открытия границы. Преимущество формулировки на основе случайных кластеров заключается в том, что параметр может быть любым комплексным числом, а не только натуральным целым.

Теоретическое описание меры

Одномерная модель Поттса может быть выражена в терминах подсдвига конечного типа и, таким образом, получает доступ ко всем математическим методам, связанным с этим формализмом. В частности, её можно точно решить, используя методы операторов переноса. (Однако Эрнст Айзинг использовал комбинаторные методы для решения модели Айзинга, которая является "предком" модели Поттса, в своей докторской диссертации 1924 года). В этом разделе развивается математический формализм, основанный на теории меры, лежащий в основе этого решения. Хотя приведенный ниже пример разработан для одномерного случая, многие аргументы и почти вся нотация легко обобщаются на любое число измерений. Некоторые элементы этого формализма также достаточно широки, чтобы охватывать связанные модели, такие как модель XY, модель Гейзенберга и N-векторная модель.

Обработка сигналов и изображений

Модель Поттса находит применение в реконструкции сигналов. Предположим, что нам дано шумное наблюдение кусочно-постоянного сигнала g в Rn. Для восстановления g по вектору зашумленных наблюдений f в Rn необходимо найти минимизатор соответствующей обратной задачи – функционала Lp Поттса Pγ(u), который определяется как: Штраф за разрывы стимулирует кусочно-постоянные решения, а член, зависящий от данных, связывает минимизируемую функцию u с данными f. Параметр γ > 0 управляет балансом между гладкостью и соответствием данным. Существуют быстрые алгоритмы для точного минимизирования функционалов Поттса L1 и L2. В обработке изображений функционал Поттса связан с задачей сегментации. Однако в двух измерениях эта задача является NP-трудной.