Кіріспе
Абстракт алгебрадағы семитопологиялық топ. Абстракт алгебрада аделикалық алгебралық топ – K сан өрісіндегі G алгебралық тобы және K-нің А = A(K) аделикалық сақинасы арқылы анықталады. Ол A-дағы мәндері бар G нүктелерінен тұрады; тиісті топологияның анықтамасы тек қана G сызықтық алгебралық топ болған жағдайда ғана түсінікті. Егер G абельдік сан болса, бұл техникалық қиындық тудырады, бірақ бұл ұғым Тамагава сандарымен байланысты пайдалы болуы мүмкін екені белгілі. Аделикалық алгебралық топтар сандар теориясында, әсіресе автоморфты өкілдіктер теориясы және квадраттық формалар арифметикасы үшін кеңінен қолданылады. Егер G сызықтық алгебралық топ болса, ол N-аффиндік кеңістікте аффиндік алгебралық қисықтан тұрады. Аделикалық алгебралық топтағы топология АN-дегі ішкі кеңістік топологиясы ретінде қарастырылады, яғни аделикалық сақинаның N көшірмесінің декарт көбейтіндісі. Бұл жағдайда ол топологиялық топ болып табылады.
In abstract algebra, an adelic algebraic group is a semitopological group defined by an algebraic group G over a number field K, and the adele ring A = A(K) of K. It consists of the points of G having values in A; the definition of the appropriate topology is straightforward only in case G is a linear algebraic group. In the case of G being an abelian variety, it presents a technical obstacle, though it is known that the concept is potentially useful in connection with Tamagawa numbers. Adelic algebraic groups are widely used in number theory, particularly for the theory of automorphic representations, and the arithmetic of quadratic forms. In case G is a linear algebraic group, it is an affine algebraic variety in affine N space. The topology on the adelic algebraic group is taken to be the subspace topology in AN, the Cartesian product of N copies of the adele ring. In this case, is a topological group.
Терминологияның тарихы
Тарихи тұрғыдан алғанда, идеалдар (/ɪ/'/d//ɛ//l//z/) француз тілінде "élément idéal" деген атаумен, яғни "идеал элемент" деп енгізілді, кейін Хассе ұсынысы бойынша "идель" деп қысқартылды. (Ол өз еңбектерінде идеалдарға Хаусдорф емес топологиясын да берді.) Бұл топологиялық топтар арқылы шексіз кеңейтулер үшін кластық өріс теориясын формулирлеу үшін жасалған. Функциялық өріс жағдайында Адель сақинасын анықтады (бірақ атамады) және Шевалье идеал элементтері тобы осы сақинаның инверттендік элементтері тобы екенін көрсетті. Адель сақинасын шектеулі тікелей көбейтінді ретінде анықтады, бірақ оның элементтерін "идельдердің" орнына "бағалау векторлары" деп атады. Функциялық өріс жағдайында "repartitions" деген атаумен Адель сақинасын анықтады; қазіргі термин "adèle" "қосымша идеалдарды" білдіреді, сонымен қатар бұл француз тілінде әйел есімі болуы мүмкін. "Adèle" термині одан кейін көп ұзамай қолданысқа түсті және оны Андре Вейль енгізген болуы мүмкін. Аделикалық алгебралық топтардың жалпы құрылысы Арманд Борел мен Хариш Чандра қалаған алгебралық топтар теориясына сәйкес келді.
Идеалдар
Маңызды мысал, идеалдық топ (идеалдық элементтер тобы) I(K), мына жағдайда идеалдар жиыны инвертируемый адельдерден тұрады; бірақ идеалдық топтағы топология, адельдердің кіші жиынтығы ретінде олардың топологиясы емес. Оның орнына, екі өлшемді аффиндік кеңістікте жатқанды ескере отырып, параметрлік түрде анықталған "гипербола" ретінде қарастырылады:
the topology correctly assigned to the idele group is that induced by inclusion in A2; composing with a projection, it follows that the ideles carry a finer topology than the subspace topology from A. Inside AN, the product KN lies as a discrete subgroup. This means that G(K) is a discrete subgroup of G(A), also. In the case of the idele group, the quotient group
is the idele class group. It is closely related to (though larger than) the ideal class group. The idele class group is not itself compact; the ideles must first be replaced by the ideles of norm 1, and then the image of those in the idele class group is a compact group; the proof of this is essentially equivalent to the finiteness of the class number. The study of the Galois cohomology of idele class groups is a central matter in class field theory. Characters of the idele class group, now usually called Hecke characters or Größencharacters, give rise to the most basic class of L functions.
Идеалдық топқа дұрыс тағайындалған топология – A2 ішіне енгізу арқылы туындайды; проекциямен құрастыру арқылы, идеалдар А-дан алынған субкеңістік топологиясынан гөрі, жоғары дәлдікке ие топологияны алып жүреді. AN ішінде KN көбейтіндісі дискретті кіші топ болып табылады. Бұл G(K) G(A) кіші тобының дискретті кіші тобы екенін білдіреді. Идель тобының жағдайында, бөліндік топ – идель кластық тобы. Бұл идеалдық сынып тобымен тығыз байланысты (бірақ одан үлкен); идель кластық тобының өзі тығыз емес; идеалдарды алдымен нормасы 1-ге тең идеалдармен алмастыру керек, содан кейін олардың идель кластық тобындағы бейнесі тығыз топ болады; бұл дәлелдің мәні, сынып санының шектілігіне тең. Идель кластық топтарының Галуа когомологиясын зерттеу – сыныптық өріс теориясының орталық мәселесі. Идель кластық тобының кейіптері, қазір әдетте Хекке кейіптері немесе Größencharacters деп аталады, L функцияларының ең қарапайым класын тудырады.
the topology correctly assigned to the idele group is that induced by inclusion in A2; composing with a projection, it follows that the ideles carry a finer topology than the subspace topology from A. Inside AN, the product KN lies as a discrete subgroup. This means that G(K) is a discrete subgroup of G(A), also. In the case of the idele group, the quotient group
is the idele class group. It is closely related to (though larger than) the ideal class group. The idele class group is not itself compact; the ideles must first be replaced by the ideles of norm 1, and then the image of those in the idele class group is a compact group; the proof of this is essentially equivalent to the finiteness of the class number. The study of the Galois cohomology of idele class groups is a central matter in class field theory. Characters of the idele class group, now usually called Hecke characters or Größencharacters, give rise to the most basic class of L functions.