Введение
Семитопологическая группа в абстрактной алгебре
В абстрактной алгебре аделическая алгебраическая группа — это семитопологическая группа, определяемая алгебраической группой G над числовым полем K и кольцом аделей A = A(K). Она состоит из точек G, принимающих значения в A; определение подходящей топологии непосредственно только в случае, когда G является линейной алгебраической группой. В случае, когда G является абелевым многообразием, это представляет собой техническую сложность, хотя известно, что данное понятие потенциально полезно в связи с числами Тамагавы. Аделические алгебраические группы широко используются в теории чисел, в особенности в теории автоморфных представлений и арифметике квадратичных форм. Если G является линейной алгебраической группой, то она представляет собой аффинное алгебраическое многообразие в аффинном N-пространстве. Топология на аделической алгебраической группе задается как индуцированная топология из AN, декартова произведения N копий кольца аделей. В этом случае она является топологической группой.
In abstract algebra, an adelic algebraic group is a semitopological group defined by an algebraic group G over a number field K, and the adele ring A = A(K) of K. It consists of the points of G having values in A; the definition of the appropriate topology is straightforward only in case G is a linear algebraic group. In the case of G being an abelian variety, it presents a technical obstacle, though it is known that the concept is potentially useful in connection with Tamagawa numbers. Adelic algebraic groups are widely used in number theory, particularly for the theory of automorphic representations, and the arithmetic of quadratic forms. In case G is a linear algebraic group, it is an affine algebraic variety in affine N space. The topology on the adelic algebraic group is taken to be the subspace topology in AN, the Cartesian product of N copies of the adele ring. In this case, is a topological group.
История терминологии
Исторически idèles (/ɪ/'/d//ɛ//l//z/) были введены под названием "élément idéal", что означает "идеальный элемент" на французском языке, которое затем было сокращено до "idèle" по предложению Хассе. (В этих работах он также наделил idèles нехаусдорфовой топологией.) Это было сделано для формулировки теории полей классов для бесконечных расширений в терминах топологических групп. определил (но не назвал) кольцо аделей в случае поля функций и указал, что группа Chevalley Idealelemente являлась группой обратимых элементов этого кольца. определил кольцо аделей как ограниченное прямое произведение, хотя он называл его элементы "векторами валентности", а не аделями. определил кольцо аделей в случае поля функций под названием "repartitions"; современный термин adèle обозначает "аддитивные idèles" и также может быть женским именем во французском языке. Термин adèle начал использоваться вскоре после этого и, возможно, был введен Андре Вейлем. Общее построение аделических алгебраических групп последовало за алгебраической теорией групп, основанной Армандом Борелем и Харишем Чандрой.
Идеи
Важным примером является группа иделов (группа идеальных элементов) I(K), в которой множество иделов состоит из обратимых аделов; однако топология на группе иделов не совпадает с их топологией как подмножества аделов. Вместо этого, учитывая, что лежит в двухмерном аффинном пространстве как "гипербола", заданная параметрически выражением
the topology correctly assigned to the idele group is that induced by inclusion in A2; composing with a projection, it follows that the ideles carry a finer topology than the subspace topology from A. Inside AN, the product KN lies as a discrete subgroup. This means that G(K) is a discrete subgroup of G(A), also. In the case of the idele group, the quotient group
is the idele class group. It is closely related to (though larger than) the ideal class group. The idele class group is not itself compact; the ideles must first be replaced by the ideles of norm 1, and then the image of those in the idele class group is a compact group; the proof of this is essentially equivalent to the finiteness of the class number. The study of the Galois cohomology of idele class groups is a central matter in class field theory. Characters of the idele class group, now usually called Hecke characters or Größencharacters, give rise to the most basic class of L functions.
,
the topology correctly assigned to the idele group is that induced by inclusion in A2; composing with a projection, it follows that the ideles carry a finer topology than the subspace topology from A. Inside AN, the product KN lies as a discrete subgroup. This means that G(K) is a discrete subgroup of G(A), also. In the case of the idele group, the quotient group
is the idele class group. It is closely related to (though larger than) the ideal class group. The idele class group is not itself compact; the ideles must first be replaced by the ideles of norm 1, and then the image of those in the idele class group is a compact group; the proof of this is essentially equivalent to the finiteness of the class number. The study of the Galois cohomology of idele class groups is a central matter in class field theory. Characters of the idele class group, now usually called Hecke characters or Größencharacters, give rise to the most basic class of L functions.
топология, корректно приписываемая группе иделов, индуцируется включением в A2; композиция с проекцией показывает, что иделы несут более тонкую топологию, чем топология подпространства из A. Внутри AN произведение KN является дискретной подгруппой. Это означает, что G(K) также является дискретной подгруппой G(A). В случае группы иделов, факторгруппа
the topology correctly assigned to the idele group is that induced by inclusion in A2; composing with a projection, it follows that the ideles carry a finer topology than the subspace topology from A. Inside AN, the product KN lies as a discrete subgroup. This means that G(K) is a discrete subgroup of G(A), also. In the case of the idele group, the quotient group
is the idele class group. It is closely related to (though larger than) the ideal class group. The idele class group is not itself compact; the ideles must first be replaced by the ideles of norm 1, and then the image of those in the idele class group is a compact group; the proof of this is essentially equivalent to the finiteness of the class number. The study of the Galois cohomology of idele class groups is a central matter in class field theory. Characters of the idele class group, now usually called Hecke characters or Größencharacters, give rise to the most basic class of L functions.
является группой классов иделов. Она тесно связана с (хотя и больше) группой классов идеалов. Сама группа классов иделов не является компактной; сначала необходимо заменить иделы на иделы нормы 1, а затем образ этих иделов в группе классов иделов является компактной группой; доказательство этого по существу эквивалентно конечности числа классов. Изучение когомологий Галуа групп классов иделов является центральным вопросом в теории классовых полей. Характеры группы классов иделов, которые обычно называют характерами Гекке или характерами Гроссена, порождают наиболее фундаментальный класс L-функций.
the topology correctly assigned to the idele group is that induced by inclusion in A2; composing with a projection, it follows that the ideles carry a finer topology than the subspace topology from A. Inside AN, the product KN lies as a discrete subgroup. This means that G(K) is a discrete subgroup of G(A), also. In the case of the idele group, the quotient group
is the idele class group. It is closely related to (though larger than) the ideal class group. The idele class group is not itself compact; the ideles must first be replaced by the ideles of norm 1, and then the image of those in the idele class group is a compact group; the proof of this is essentially equivalent to the finiteness of the class number. The study of the Galois cohomology of idele class groups is a central matter in class field theory. Characters of the idele class group, now usually called Hecke characters or Größencharacters, give rise to the most basic class of L functions.