Размерность математического пространства

Введение

Свойство математического пространства
Размерность пространства

В физике и математике размерность математического пространства (или объекта) неформально определяется как минимальное количество координат, необходимых для задания любой точки в нём. Таким образом, прямая имеет размерность один (1D), поскольку для задания точки на ней требуется только одна координата, например, точка 5 на числовой оси. Поверхность, такая как граница цилиндра или сферы, имеет два измерения (2D), потому что для задания точки на ней нужны две координаты – например, для определения точки на поверхности сферы необходимы как широта, так и долгота. Двумерное евклидово пространство – это двумерное пространство на плоскости. Внутреннее пространство куба, цилиндра или сферы трёхмерно (3D), поскольку для задания точки в этих пространствах требуются три координаты. В классической механике пространство и время являются различными категориями и относятся к абсолютному пространству и времени. Это представление мира – четырёхмерное пространство, но не то, которое оказалось необходимым для описания электромагнетизма. Четыре измерения (4D) пространства-времени состоят из событий, которые не определены абсолютно в пространстве и времени, а скорее известны относительно движения наблюдателя. Пространство Минковского является первым приближением Вселенной без гравитации; псевдоримановы многообразия общей теории относительности описывают пространство-время с материей и гравитацией. 10 измерений используются для описания теории суперструн (6D гиперпространство + 4D), 11 измерений могут описать супергравитацию и M-теорию (7D гиперпространство + 4D), а пространство состояний квантовой механики является бесконечномерным функциональным пространством. Понятие размерности не ограничивается физическими объектами. Оно часто встречается в математике и науке. Это могут быть евклидовы пространства или более общие пространства параметров или пространства конфигураций, как, например, в лагранжевой или гамильтоновой механике; это абстрактные пространства, независимые от физического пространства.

В математике

В математике, размерность объекта, грубо говоря, это количество степеней свободы точки, движущейся по этому объекту. Другими словами, размерность – это количество независимых параметров или координат, необходимых для определения положения точки, ограниченной этим объектом. Например, размерность точки равна нулю; размерность прямой – один, поскольку точка может двигаться по прямой только в одном направлении (или в противоположном); размерность плоскости – два и так далее. Размерность является внутренним свойством объекта, в том смысле, что она не зависит от размерности пространства, в котором объект находится или может быть вложен. Например, кривая, такая как окружность, имеет размерность один, потому что положение точки на кривой определяется её знаковым расстоянием вдоль кривой до фиксированной точки на кривой. Это не зависит от того факта, что кривую нельзя вложить в евклидово пространство размерности меньше двух, если это не прямая. Размерность евклидова n-пространства Eⁿ равна n. При попытке обобщения на другие типы пространств возникает вопрос: "Что делает Eⁿ n-мерным?". Один из ответов заключается в том, что для покрытия фиксированного шара в Eⁿ малыми шарами радиуса ε требуется порядка ε⁻ⁿ таких малых шаров. Это наблюдение приводит к определению размерности Минковского и её более сложной разновидности – размерности Хаусдорфа, но существуют и другие ответы на этот вопрос. Например, граница шара в Eⁿ локально выглядит как Eⁿ⁻¹ и это приводит к понятию индуктивной размерности. Хотя эти понятия согласуются для Eⁿ, они оказываются различными при рассмотрении более общих пространств. Тессеракт – это пример четырёхмерного объекта. В то время как вне математики термин "размерность" используется как в примере: "Тессеракт имеет четыре размерности", математики обычно выражают это как: "Тессеракт имеет размерность 4", или: "Размерность тессеракта равна 4", или: 4D. Хотя понятие высших размерностей восходит к Рене Декарту, существенное развитие геометрии высших размерностей началось только в XIX веке благодаря работам Артура Кейли, Уильяма Роуэна Гамильтона, Людвига Шлефли и Бернарда Римана. Габилитационная диссертация Римана 1854 года, Теория многократной непрерывности Шлефли 1852 года, открытие Гамильтоном кватернионов и открытие Джоном Т. Грейвсом октонионов в 1843 году ознаменовали начало геометрии высших размерностей. Остальная часть этого раздела рассматривает некоторые из наиболее важных математических определений размерности.

In mathematics, the dimension of an object is, roughly speaking, the number of degrees of freedom of a point that moves on this object. In other words, the dimension is the number of independent parameters or coordinates that are needed for defining the position of a point that is constrained to be on the object. For example, the dimension of a point is zero; the dimension of a line is one, as a point can move on a line in only one direction (or its opposite); the dimension of a plane is two etc. The dimension is an intrinsic property of an object, in the sense that it is independent of the dimension of the space in which the object is or can be embedded. For example, a curve, such as a circle, is of dimension one, because the position of a point on a curve is determined by its signed distance along the curve to a fixed point on the curve. This is independent from the fact that a curve cannot be embedded in a Euclidean space of dimension lower than two, unless it is a line. The dimension of Euclidean n space 'E'^(n) is n. When trying to generalize to other types of spaces, one is faced with the question "what makes 'E'^(n) n dimensional?" One answer is that to cover a fixed ball in 'E'^(n) by small balls of radius ε, one needs on the order of ε^(−n) such small balls. This observation leads to the definition of the Minkowski dimension and its more sophisticated variant, the Hausdorff dimension, but there are also other answers to that question. For example, the boundary of a ball in 'E'^(n) looks locally like 'E'^(n 1) and this leads to the notion of the inductive dimension. While these notions agree on 'E'^(n), they turn out to be different when one looks at more general spaces. A tesseract is an example of a four dimensional object. Whereas outside mathematics the use of the term "dimension" is as in: "A tesseract has four dimensions", mathematicians usually express this as: "The tesseract has dimension 4", or: "The dimension of the tesseract is 4" or: 4D. Although the notion of higher dimensions goes back to René Descartes, substantial development of a higher dimensional geometry only began in the 19th century, via the work of Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli and Bernhard Riemann. Riemann's 1854 Habilitationsschrift, Schläfli's 1852 Theorie der vielfachen Kontinuität, and Hamilton's discovery of the quaternions and John T. Graves' discovery of the octonions in 1843 marked the beginning of higher dimensional geometry. The rest of this section examines some of the more important mathematical definitions of dimension.

Векторные пространства

Размер векторного пространства — это число векторов в любом базисе этого пространства, то есть число координат, необходимых для задания любого вектора. Это понятие размерности (мощность базиса) часто называют размерностью Гамеля или алгебраической размерностью, чтобы отличать его от других понятий размерности. Для несвободных модулей это понятие обобщается до понятия длины модуля.

Манифолы

Можно вычислить однозначно определенную размерность каждого связного топологического многообразия. Связное топологическое многообразие локально гомеоморфно евклидову пространству размерности n, где число n является размерностью многообразия. Для связных дифференцируемых многообразий размерность также равна размерности тангенциального векторного пространства в любой точке. В геометрической топологии теория многообразий характеризуется тем, что размерности 1 и 2 относительно элементарны, высокоразмерные случаи упрощаются благодаря наличию дополнительного пространства для "работы", а случаи размерностей 3 и 4 в некотором смысле являются наиболее сложными. Эта ситуация ярко проявилась в различных формулировках гипотезы Пуанкаре, для доказательства которых применялись четыре различных метода.

Комплексное измерение

Размер многообразия зависит от базового поля, относительно которого определено евклидово пространство. В то время как анализ обычно рассматривает многообразия над полем вещественных чисел, при изучении комплексных многообразий и алгебраических многообразий бывает полезно работать над полем комплексных чисел. Комплексное число (x + iy) имеет вещественную часть x и мнимую часть y, где x и y – вещественные числа; следовательно, комплексная размерность равна половине вещественной размерности. И наоборот, в алгебраически неограниченных контекстах одна комплексная система координат может быть применена к объекту, имеющему две вещественные размерности. Например, обычная двумерная сферическая поверхность, снабжённая комплексной метрикой, становится сферой Римана одной комплексной размерности.

Сорты

Размер алгебраического многообразия может быть определен различными эквивалентными способами. Наиболее интуитивным способом, вероятно, является размерность тангентного пространства в любой регулярной точке алгебраического многообразия. Другой интуитивно понятный способ – определить размерность как число гиперплоскостей, необходимых для получения пересечения с многообразием, которое сводится к конечному числу точек (нульмерному). Это определение основано на том факте, что пересечение многообразия с гиперплоскостью уменьшает размерность на единицу, если только гиперплоскость не содержит многообразие. Алгебраическое множество, будучи конечным объединением алгебраических многообразий, имеет размерность, равную максимуму размерностей его компонент. Она также равна максимальной длине цепочек подмногообразий данного алгебраического множества (длина такой цепочки равна числу включений). Каждое многообразие можно рассматривать как алгебраический стек, и его размерность как многообразие совпадает с его размерностью как стека. Однако существует множество стеков, которые не соответствуют многообразиям, и некоторые из них имеют отрицательную размерность. В частности, если V – многообразие размерности m, а G – алгебраическая группа размерности n, действующая на V, то фактор-стек [V/G] имеет размерность m − n.

Размер крула

Размер Крулла коммутативного кольца — это максимальная длина цепочек простых идеалов в нём, где цепочка длины n — это последовательность простых идеалов, связанных отношением включения. Он тесно связан с размерностью алгебраического многообразия благодаря естественному соответствию между подмногообразиями и простыми идеалами кольца многочленов на этом многообразии. Для алгебры над полем, размерность как векторного пространства конечна тогда и только тогда, когда её размер Крулла равен 0.

Топологические пространства

Для любого нормального топологического пространства X, измерение покрытия Лебега X определяется как наименьшее целое число n, для которого выполняется следующее: любое открытое покрытие имеет открытое уточнение (второе открытое покрытие, в котором каждый элемент является подмножеством элемента в первом покрытии) такое, что ни одна точка не включена более чем в n + 1 элементов. В этом случае dim Для многообразия X это совпадает с вышеупомянутым измерением. Если такого целого числа n не существует, то измерение X считается бесконечным, и его записывают как dim. Кроме того, X имеет измерение −1, т.е. dim, если и только если X пусто. Это определение измерения покрытия может быть расширено с класса нормальных пространств на все пространства Тихонова, просто заменив термин "открытый" в определении термином "функционально открытый". Индуктивное измерение может быть определено индуктивно следующим образом. Дискретное множество точек (например, конечное множество точек) считается 0-мерным. Перемещая 0-мерный объект в некотором направлении, получаем 1-мерный объект. Перемещая 1-мерный объект в новом направлении, получаем 2-мерный объект. В общем случае, перемещая n-мерный объект в новом направлении, получаем (n + 1)-мерный объект. Индуктивное измерение топологического пространства может относиться к малому индуктивному измерению или большому индуктивному измерению и основано на аналогии с тем, что в случае метрических пространств шары имеют n-мерные границы, что позволяет дать индуктивное определение, основанное на измерении границ открытых множеств. Более того, граница дискретного множества точек – это пустое множество, и поэтому пустое множество можно считать имеющим измерение −1. Аналогично, для класса CW-комплексов, измерение объекта – это наибольшее n, для которого n-скелет нетривиален. Интуитивно это можно описать следующим образом: если исходное пространство можно непрерывно деформировать в набор треугольников более высоких размерностей, соединенных по граням сложной поверхностью, то измерение объекта равно размерности этих треугольников.

For any normal topological space X, the Lebesgue covering dimension of X is defined to be the smallest integer n for which the following holds: any open cover has an open refinement (a second open cover in which each element is a subset of an element in the first cover) such that no point is included in more than n + 1 elements. In this case dim For X a manifold, this coincides with the dimension mentioned above. If no such integer n exists, then the dimension of X is said to be infinite, and one writes dim Moreover, X has dimension −1, i. e. dim if and only if X is empty. This definition of covering dimension can be extended from the class of normal spaces to all Tychonoff spaces merely by replacing the term "open" in the definition by the term "functionally open". An inductive dimension may be defined inductively as follows. Consider a discrete set of points (such as a finite collection of points) to be 0 dimensional. By dragging a 0 dimensional object in some direction, one obtains a 1 dimensional object. By dragging a 1 dimensional object in a new direction, one obtains a 2 dimensional object. In general one obtains an (n + 1) dimensional object by dragging an n dimensional object in a new direction. The inductive dimension of a topological space may refer to the small inductive dimension or the large inductive dimension, and is based on the analogy that, in the case of metric spaces, balls have n dimensional boundaries, permitting an inductive definition based on the dimension of the boundaries of open sets. Moreover, the boundary of a discrete set of points is the empty set, and therefore the empty set can be taken to have dimension 1. Similarly, for the class of CW complexes, the dimension of an object is the largest n for which the n skeleton is nontrivial. Intuitively, this can be described as follows: if the original space can be continuously deformed into a collection of higher dimensional triangles joined at their faces with a complicated surface, then the dimension of the object is the dimension of those triangles.

Размер Хаусдорфа

Размер Хаусдорфа полезен для изучения структурно сложных множеств, особенно фракталов. Размер Хаусдорфа определяется для всех метрических пространств и, в отличие от рассмотренных ранее размерностей, может принимать нецелые вещественные значения. Размерность коробки, или размерность Минковского, является вариантом этой же идеи. В общем случае существует множество определений размерностей фракталов, применимых к сильно нерегулярным множествам и принимающих нецелые положительные вещественные значения.

Пространства Гильберта

Каждое гильбертово пространство допускает ортонормальный базис, и любые два таких базиса для данного пространства имеют одинаковую мощность. Эта мощность называется размерностью гильбертова пространства. Размерность конечна тогда и только тогда, когда гамелевская размерность пространства конечна, и в этом случае обе размерности совпадают.

Время

Временное измерение, или измерение времени, — это измерение времени. По этой причине время часто называют «четвёртым измерением», но это не подразумевает, что оно является пространственным измерением. Временное измерение — это один из способов измерения физических изменений. Оно воспринимается иначе, чем три пространственных измерения, поскольку существует только одно такое измерение, и мы не можем свободно перемещаться во времени, а субъективно движемся в одном направлении. Уравнения, используемые в физике для моделирования реальности, не рассматривают время так, как это обычно воспринимают люди. Уравнения классической механики симметричны относительно времени, а уравнения квантовой механики, как правило, симметричны, если одновременно инвертируются время и другие величины (такие как заряд и чётность). В этих моделях восприятие течения времени в одном направлении является следствием законов термодинамики (мы воспринимаем время как текущее в направлении возрастания энтропии). Наиболее известным рассмотрением времени как измерения является специальная теория относительности Пуанкаре и Эйнштейна (и расширенная до общей теории относительности), которая рассматривает воспринимаемое пространство и время как компоненты четырёхмерного многообразия, известного как пространство-время, а в специальном, плоском случае — как пространство Минковского. Время отличается от других пространственных измерений тем, что оно действует во всех пространственных измерениях. Время действует в первом, втором и третьем, а также в теоретических пространственных измерениях, таких как четвёртое пространственное измерение. Однако время отсутствует в единственной точке абсолютной бесконечной сингулярности, определяемой как геометрическая точка, поскольку бесконечно малая точка не может иметь никаких изменений и, следовательно, никакого времени. Подобно тому, как объект перемещается по положениям в пространстве, он также перемещается по положениям во времени. В этом смысле сила, заставляющая любой объект изменяться, — это время.

Дополнительные размеры

В физике три измерения пространства и одно измерение времени – принятая норма. Однако существуют теории, пытающиеся объединить четыре фундаментальные силы, вводя дополнительные измерения/гиперпространство. Наиболее заметно, что теория суперструн требует 10 пространственно-временных измерений и берет начало из более фундаментальной 11-мерной теории, условно называемой теорией M, которая включает в себя пять ранее различных теорий суперструн. Теория супергравитации также постулирует 11-мерное пространство-время, состоящее из 7-мерного гиперпространства и 4 обычных измерений. На сегодняшний день нет прямых экспериментальных или наблюдательных данных, подтверждающих существование этих дополнительных измерений. Если гиперпространство существует, оно должно быть скрыто от нас каким-то физическим механизмом. Одной из хорошо изученных возможностей является то, что дополнительные измерения могут быть "свернуты" в настолько малые масштабы, что они фактически невидимы для современных экспериментов. В 1921 году теория Калуцы – Клейна представила 5-мерное пространство, включающее дополнительное пространственное измерение. На уровне квантовой теории поля теория Калуцы – Клейна объединяет гравитацию с калибровочными взаимодействиями, основываясь на понимании того, что гравитация, распространяющаяся в небольших, компактных дополнительных измерениях, эквивалентна калибровочным взаимодействиям на больших расстояниях. В частности, при тривиальной геометрии дополнительных измерений она воспроизводит электромагнетизм. Однако при достаточно высоких энергиях или на малых расстояниях эта модель по-прежнему страдает от тех же патологий, которые препятствуют прямым попыткам описать квантовую гравитацию. Следовательно, эти модели все еще требуют УФ-заполнения, которое, как предполагается, обеспечит теория струн. В частности, теория суперструн требует шести компактных измерений (6-мерного гиперпространства), формирующих многообразие Калаби — Яу. Таким образом, теорию Калуцы — Клейна можно рассматривать либо как неполное описание само по себе, либо как подмножество построения моделей в теории струн. Помимо малых и свернутых дополнительных измерений, могут существовать дополнительные измерения, которые не проявляются, поскольку материя, связанная с нашей наблюдаемой Вселенной, локализована в (3+1)-мерном подпространстве. Таким образом, дополнительные измерения не обязательно должны быть малыми и компактными, но могут быть большими дополнительными измерениями. D-браны – это динамические расширенные объекты различных размерностей, предсказанные теорией струн, которые могут играть эту роль. Они обладают свойством, что возбуждения открытых струн, связанные с калибровочными взаимодействиями, ограничены браной своими концами, в то время как замкнутые струны, опосредующие гравитационное взаимодействие, могут свободно распространяться во всем пространстве-времени, или "в объеме". Это может быть связано с тем, почему гравитация экспоненциально слабее других сил, поскольку она эффективно рассеивается при распространении в объеме большей размерности. Некоторые аспекты физики бран применяются к космологии. Например, космология бранного газа пытается объяснить, почему пространство имеет три измерения, используя топологические и термодинамические соображения. Согласно этой идее, это связано с тем, что три – наибольшее число пространственных измерений, в которых струны могут обычно пересекаться. Если изначально вокруг компактных измерений существует множество обвитий струн, то пространство могло бы расшириться до макроскопических размеров только после устранения этих обвитий, что требует, чтобы струны с противоположным направлением обвития нашли друг друга и аннигилировали. Но струны могут находить друг друга для аннигиляции с заметной скоростью только в трех измерениях, следовательно, только три измерения пространства могут увеличиваться, учитывая такую начальную конфигурацию. Дополнительные измерения считаются универсальными, если все поля одинаково свободно распространяются в них.

In physics, three dimensions of space and one of time is the accepted norm. However, there are theories that attempt to unify the four fundamental forces by introducing extra dimensions/hyperspace. Most notably, superstring theory requires 10 spacetime dimensions, and originates from a more fundamental 11 dimensional theory tentatively called M theory which subsumes five previously distinct superstring theories. Supergravity theory also promotes 11D spacetime = 7D hyperspace + 4 common dimensions. To date, no direct experimental or observational evidence is available to support the existence of these extra dimensions. If hyperspace exists, it must be hidden from us by some physical mechanism. One well studied possibility is that the extra dimensions may be "curled up" at such tiny scales as to be effectively invisible to current experiments. In 1921, Kaluza–Klein theory presented 5D including an extra dimension of space. At the level of quantum field theory, Kaluza–Klein theory unifies gravity with gauge interactions, based on the realization that gravity propagating in small, compact extra dimensions is equivalent to gauge interactions at long distances. In particular when the geometry of the extra dimensions is trivial, it reproduces electromagnetism. However at sufficiently high energies or short distances, this setup still suffers from the same pathologies that famously obstruct direct attempts to describe quantum gravity. Therefore, these models still require a UV completion, of the kind that string theory is intended to provide. In particular, superstring theory requires six compact dimensions (6D hyperspace) forming a Calabi–Yau manifold. Thus Kaluza Klein theory may be considered either as an incomplete description on its own, or as a subset of string theory model building. In addition to small and curled up extra dimensions, there may be extra dimensions that instead are not apparent because the matter associated with our visible universe is localized on a (3 + 1) dimensional subspace. Thus the extra dimensions need not be small and compact but may be large extra dimensions. D branes are dynamical extended objects of various dimensionalities predicted by string theory that could play this role. They have the property that open string excitations, which are associated with gauge interactions, are confined to the brane by their endpoints, whereas the closed strings that mediate the gravitational interaction are free to propagate into the whole spacetime, or "the bulk". This could be related to why gravity is exponentially weaker than the other forces, as it effectively dilutes itself as it propagates into a higher dimensional volume. Some aspects of brane physics have been applied to cosmology. For example, brane gas cosmology attempts to explain why there are three dimensions of space using topological and thermodynamic considerations. According to this idea it would be since three is the largest number of spatial dimensions in which strings can generically intersect. If initially there are many windings of strings around compact dimensions, space could only expand to macroscopic sizes once these windings are eliminated, which requires oppositely wound strings to find each other and annihilate. But strings can only find each other to annihilate at a meaningful rate in three dimensions, so it follows that only three dimensions of space are allowed to grow large given this kind of initial configuration. Extra dimensions are said to be universal if all fields are equally free to propagate within them.

В компьютерной графике и пространственных данных

Несколько типов цифровых систем основаны на хранении, анализе и визуализации геометрических форм, включая программное обеспечение для иллюстраций, системы автоматизированного проектирования и географические информационные системы. Различные векторные системы используют широкий спектр структур данных для представления форм, но почти все они фундаментально основаны на наборе геометрических примитивов, соответствующих пространственным измерениям: точка (0-мерная) – одиночная координата в декартовой системе координат; линия или полилиния (1-мерная) – обычно представляется как упорядоченный список точек, взятых из непрерывной линии, при этом программное обеспечение должно интерполировать промежуточную форму линии в виде прямых или криволинейных сегментов; полигон (2-мерный) – обычно представляется как линия, замкнутая в своих конечных точках, представляющая границу двухмерной области. Программное обеспечение должно использовать эту границу для разделения двухмерного пространства на внутреннюю и внешнюю области; поверхность (3-мерная) – представляется с использованием различных стратегий, таких как многогранник, состоящий из соединенных полигональных граней. Программное обеспечение должно использовать эту поверхность для разделения трехмерного пространства на внутреннюю и внешнюю области. Часто в этих системах, особенно в ГИС и картографии, представление реального явления может иметь другое (обычно меньшее) измерение, чем само явление. Например, город (двухмерная область) может быть представлен точкой, а дорога (трехмерный объем материала) – линией. Это обобщение измерений коррелирует с тенденциями в пространственном познании. Например, вопрос о расстоянии между двумя городами предполагает концептуальную модель городов как точек, а указания, связанные с движением "вверх", "вниз" или "вдоль" дороги, подразумевают одномерную концептуальную модель. Это часто делается для повышения эффективности данных, визуальной простоты или когнитивной эффективности и допустимо, если понимается различие между представлением и тем, что представлено, но может привести к путанице, если пользователи информации полагают, что цифровая форма является точным отражением реальности (то есть, верят, что дороги действительно являются линиями).

Several types of digital systems are based on the storage, analysis, and visualization of geometric shapes, including illustration software, Computer aided design, and Geographic information systems. Different vector systems use a wide variety of data structures to represent shapes, but almost all are fundamentally based on a set of geometric primitives corresponding to the spatial dimensions:
Point (0 dimensional), a single coordinate in a Cartesian coordinate system. Line or Polyline (1 dimensional), usually represented as an ordered list of points sampled from a continuous line, whereupon the software is expected to interpolate the intervening shape of the line as straight or curved line segments. Polygon (2 dimensional), usually represented as a line that closes at its endpoints, representing the boundary of a two dimensional region. The software is expected to use this boundary to partition 2 dimensional space into an interior and exterior. Surface (3 dimensional), represented using a variety of strategies, such as a polyhedron consisting of connected polygon faces. The software is expected to use this surface to partition 3 dimensional space into an interior and exterior. Frequently in these systems, especially GIS and Cartography, a representation of a real world phenomena may have a different (usually lower) dimension than the phenomenon being represented. For example, a city (a two dimensional region) may be represented as a point, or a road (a three dimensional volume of material) may be represented as a line. This dimensional generalization correlates with tendencies in spatial cognition. For example, asking the distance between two cities presumes a conceptual model of the cities as points, while giving directions involving travel "up," "down," or "along" a road imply a one dimensional conceptual model. This is frequently done for purposes of data efficiency, visual simplicity, or cognitive efficiency, and is acceptable if the distinction between the representation and the represented is understood, but can cause confusion if information users assume that the digital shape is a perfect representation of reality (i. e., believing that roads really are lines).