Кіріспе

Тензорлық операциялардың қысқартылған жазбасы

Математикада, әсіресе математикалық физика мен дифференциалдық геометрияда сызықтық алгебраны қолдануда, Эйнштейн жазбасы (Эйнштейннің жиынтық шарты немесе Эйнштейннің жиынтық жазбасы деп те аталады) – формула ішіндегі индекстелген мүшелердің жиынтығы бойынша қосымды ескертетін, осы арқылы ықшамдылыққа қол жеткізетін жазбалық конвенция. Математиканың бір бөлігі ретінде ол Риччи есептеуінің жазбалық кіші жиыны болып табылады; алайда, ол көбінесе физикада қолданылады, онда жанама және котангенттік кеңістіктер арасында ерекшелік жасалмайды. Оны физикаға 1916 жылы Альберт Эйнштейн енгізген.

Қолдану

Эйнштейннің белгісі аздап өзгеше түрде қолданылуы мүмкін. Көбінесе, бір өрнекте әрбір индекс жоғары (үстіңгі) және төменгі (астыңғы) жағдайда бір рет болады; алайда, бұл конвенция өрнектегі кез келген қайталанушы индекске қолданылуы мүмкін. Ковариантты және контравариантты векторлармен жұмыс істегенде, егер индекстің орны вектордың типін де көрсететін болса, әдетте бірінші жағдай қолданылады; ковариантты вектор тек коэффициенттердің көбейтінділерінің қосындысына сәйкес келетін контравариантты вектормен ғана жиырылуы мүмкін. Екінші жағынан, егер белгілі координаттық база болса (немесе координаттық векторларды қарастырмаса), тек төменгі индекстерді пайдалануға болады; төменде қараңыз.

Қысқаша сипаттама

Эйнштейн белгісінің артықшылығы – инвариант шамаларды қарапайым жазу арқылы көрсетуі. Физикада скаляр негіздің өзгеруі кезінде инвариант болып табылады. Атап айтқанда, Лоренц скаляры Лоренц түрлендіруі кезінде инвариантты. Ал қосындыдағы жеке мүшелер инвариант емес. Негіз өзгерген кезде вектордың компоненттері матрицамен сипатталған сызықтық түрлендіру арқылы өзгереді. Осыған байланысты Эйнштейн қайталанатын индекстер қосындыны білдіреді деген конвенцияны ұсынды. Ковекторлар кері матрица бойынша өзгереді. Бұл ковектормен байланысты сызықтық функция, жоғарыдағы қосынды, негіз қандай болса да бірдей болатынын қамтамасыз ету үшін жасалған. Эйнштейн конвенциясының маңызы – ол тензорлық көбейту және дуалдық арқылы V-ден құрылған басқа векторлық кеңістіктерге де қолданылады. Мысалы, V ⊗ V, V-нің тензорлық көбейтіндісі, 1 = eᵢⱼ = eᵢ ⊗ eⱼ түріндегі тензорлардан тұратын негізге ие. V ⊗ V кеңістігіндегі кез келген тензор T былай жазылуы мүмкін: V*, V-нің дуалы, ê¹ , ê² , ..., êⁿ негізі Кронекер дельтасы δ ережесіне бағынады. Матрицадағы қатар/баған координаттары тензорлық көбейтіндінің жоғарғы/төменгі индекстеріне сәйкес келеді.

Осы белгідегі жалпы операциялар

Эйнштейн белгісінде матрицаның i-ші қатары мен j-ші бағаны үшін әдеттегі элемент сілтемесі болады. Содан кейін мына операцияларды Эйнштейн белгісінде былай жазуға болады.

Тіндері

Квадраттық матрица A^(i)j үшін із – диагональдық элементтерінің қосындысы, яғни бірдей индекс A^(i)i бойынша қосынды.