Математикада байланыстыру – бөлшектердің бір-бірімен жалғасқандығын көрсетеді. Кеңістіктердің байланыстылығы, ашық жиынтар, компоненттер туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
математика
mathematics
Математикада байланыстылық – түрлі қасиеттерді білдіретін ұғым, ол белгілі бір мағынада "бір бөлікке біріккен" дегенді көрсетеді. Егер математикалық объект мұндай қасиетке ие болса, оны байланысты деп айтамыз, әйтпесе – үзіліссіз. Егер үзіліссіз объектіні табиғи түрде байланысты бөліктерге бөлуге болады, онда әр бөлік компонент (немесе байланысты компонент) деп аталады.
In mathematics, connectedness is used to refer to various properties meaning, in some sense, "all one piece". When a mathematical object has such a property, we say it is connected; otherwise it is disconnected. When a disconnected object can be split naturally into connected pieces, each piece is usually called a component (or connected component).
Топологиядағы байланыстар
Топологиялық кеңістік, егер оны екі бос емес, қиылыспайтын ашық жиынтықтың біріккені ретінде жазу мүмкін болмаса, байланысты деп айтылады. Жинақ ашық деп аталады, егер ол өзінің шекарасындағы ешқандай нүктені қамтымаса; демек, бейресми, интуитивті түсінік бойынша, кеңістікті қиылыспайтын ашық жиынтықтарға бөлу мүмкіндігі екі жиынтық арасындағы шекара кеңістіктің құрамына кірмейтінін және оны екі жеке бөлікке бөлетінін көрсетеді.
A topological space is said to be connected if it is not the union of two disjoint nonempty open sets. A set is open if it contains no point lying on its boundary; thus, in an informal, intuitive sense, the fact that a space can be partitioned into disjoint open sets suggests that the boundary between the two sets is not part of the space, and thus splits it into two separate pieces.
Байланыстылықтың басқа ұғымдары
Математиканың салалары әдетте нақты нысандар түрлерімен айналысады. Көбінесе мұндай нысан, егер ол топологиялық кеңістік ретінде қарастырылса, байланысты кеңістік болса, байланысты деп аталады. Осылайша, көптеулер, Ли тобы және графтар топологиялық кеңістік ретінде байланысты болса, байланысты деп аталады, ал олардың компоненттері – топологиялық компоненттер болып табылады. Кейде мұндай салаларда байланыстылықтың анықтамасын қайта формулировать ыңғайлы. Мысалы, граф байланысты деп есептеледі, егер графтың әрбір екі төбесі жол арқылы қосылса. Бұл анықтама графтарға қатысты топологиялық анықтамамен тең, бірақ оны графтар теориясы контекстінде қарастыру оңайырақ. Графтар теориясы сондай-ақ кластерлік коэффициент деп аталатын байланыстылықтың контекстсіз өлшемін ұсынады. Математиканың басқа салалары сирек топологиялық кеңістіктер ретінде қарастырылатын нысандармен айналысады. Дегенмен, байланыстылықтың анықтамалары көбінесе қандай да бір жолмен топологиялық мағынаны көрсетеді. Мысалы, категориялар теориясында, категория байланысты деп есептеледі, егер оның әрбір екі нысаны морфизмдер тізбегімен қосылса. Яғни, категория интуитивті түрде бір бөлік болса, ол байланысты болады. Байланыстылықтың интуитивті түрде ұқсас, бірақ формалды анықталған тұжырымдамалар ретінде әртүрлі түсініктері болуы мүмкін. Мысалы, топологиялық кеңістік байланысты деп атауға болады, егер оның әрбір екі нүктесі жол арқылы қосылса. Алайда, бұл шарт стандартты топологиялық байланыстылықтан күштірек болып шығады; атап айтқанда, бұл қасиет орындалмаған байланысты топологиялық кеңістіктер бар. Осы себепті әртүрлі терминология қолданылады; осы қасиетке ие кеңістіктер жолмен байланысты деп аталады. Барлық байланысты кеңістіктер жолмен байланысты бола бермейді, бірақ барлық жолмен байланысты кеңістіктер байланысты. Байланыстылықты білдіретін терминдер байланыстылыққа қатысты, бірақ одан анық ерекшеленетін қасиеттер үшін де қолданылады. Мысалы, жолмен байланысты топологиялық кеңістік, егер оның әрбір контур (нүктеден өзіне дейінгі жол) қысқартылатын болса, қарапайым байланысты болады; яғни, интуитивті түрде, кез келген нүктеден кез келген басқа нүктеге жетудің негізінен бір ғана жолы болса. Осылайша, сфера және диск әрқайсысы қарапайым байланысты, ал тор – байланыспаған. Басқа мысал ретінде, бағытталған граф, егер оның әрбір реттелген төбелер жұбы бағытталған жолмен (яғни "жебелерді бағыттайтын") қосылса, күшті байланысты болады. Басқа ұғымдар нысанның байланыспағандығын көрсетеді. Мысалы, топологиялық кеңістік толық ажыратылған, егер оның әрбір компоненті бір нүкте болса.
Fields of mathematics are typically concerned with special kinds of objects. Often such an object is said to be connected if, when it is considered as a topological space, it is a connected space. Thus, manifolds, Lie groups, and graphs are all called connected if they are connected as topological spaces, and their components are the topological components. Sometimes it is convenient to restate the definition of connectedness in such fields. For example, a graph is said to be connected if each pair of vertices in the graph is joined by a path. This definition is equivalent to the topological one, as applied to graphs, but it is easier to deal with in the context of graph theory. Graph theory also offers a context free measure of connectedness, called the clustering coefficient. Other fields of mathematics are concerned with objects that are rarely considered as topological spaces. Nonetheless, definitions of connectedness often reflect the topological meaning in some way. For example, in category theory, a category is said to be connected if each pair of objects in it is joined by a sequence of morphisms. Thus, a category is connected if it is, intuitively, all one piece. There may be different notions of connectedness that are intuitively similar, but different as formally defined concepts. We might wish to call a topological space connected if each pair of points in it is joined by a path. However this condition turns out to be stronger than standard topological connectedness; in particular, there are connected topological spaces for which this property does not hold. Because of this, different terminology is used; spaces with this property are said to be path connected. While not all connected spaces are path connected, all path connected spaces are connected. Terms involving connected are also used for properties that are related to, but clearly different from, connectedness. For example, a path connected topological space is simply connected if each loop (path from a point to itself) in it is contractible; that is, intuitively, if there is essentially only one way to get from any point to any other point. Thus, a sphere and a disk are each simply connected, while a torus is not. As another example, a directed graph is strongly connected if each ordered pair of vertices is joined by a directed path (that is, one that "follows the arrows"). Other concepts express the way in which an object is not connected. For example, a topological space is totally disconnected if each of its components is a single point.
Байланыстылық
Байланыстылық идеясына негізделген қасиеттер мен параметрлер көбінесе байланыс сөзін қамтиды. Мысалы, графтар теориясында, байланысты граф – ажыратылған графты құру үшін кем дегенде бір төбесін жою қажет болатын граф. Осыған байланысты, мұндай графтар 1-байланысқан деп те айтылады. Сол сияқты, егер графтан кем дегенде екі төбесін жойсақ, ажыратылған граф құрылса, онда граф 2-байланысқан болады. 3-байланысқан графты құру үшін кем дегенде үш төбесін жою керек, және т.б. Графтың байланыстылығы – оны ажырату үшін жою қажет болатын ең аз төбелер саны. Басқаша айтқанда, графтың байланыстылығы – графтың k-байланысқан болатын ең үлкен k бүтін саны. Терминология әртүрлі болғанымен, байланысты қасиеттердің зат есімдік түрлері көбінесе байланыс терминін қамтиды. Сондықтан, жай ғана байланысты топологиялық кеңістіктер туралы сөйлескенде, жай ғана байланыстылыққа қарағанда жай ғана байланыс туралы айту жиірек кездеседі. Екінші жағынан, байланыс туралы ресми түрде анықталмаған салаларда бұл сөз байланыстылықтың синонимі ретінде қолданылуы мүмкін. Байланыстылықтың тағы бір мысалын тұрақты мозаикалардан табуға болады. Мұнда байланыс – бір мозаикадан қол жетімді көршілердің санын көрсетеді.
Properties and parameters based on the idea of connectedness often involve the word connectivity. For example, in graph theory, a connected graph is one from which we must remove at least one vertex to create a disconnected graph. In recognition of this, such graphs are also said to be 1 connected. Similarly, a graph is 2 connected if we must remove at least two vertices from it, to create a disconnected graph. A 3 connected graph requires the removal of at least three vertices, and so on. The connectivity of a graph is the minimum number of vertices that must be removed to disconnect it. Equivalently, the connectivity of a graph is the greatest integer k for which the graph is k connected. While terminology varies, noun forms of connectedness related properties often include the term connectivity. Thus, when discussing simply connected topological spaces, it is far more common to speak of simple connectivity than simple connectedness. On the other hand, in fields without a formally defined notion of connectivity, the word may be used as a synonym for connectedness. Another example of connectivity can be found in regular tilings. Here, the connectivity describes the number of neighbors accessible from a single tile: