Связность в математике

Введение

Математика

В математике связность используется для обозначения различных свойств, означающих в некотором смысле, что объект состоит "из одного куска". Если математический объект обладает таким свойством, мы говорим, что он связен; в противном случае он несвязен. Если несвязный объект можно естественным образом разбить на связные части, то каждая такая часть обычно называется компонентой (или связной компонентой).

Связь в топологии

Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых множеств. Множество называется открытым, если оно не содержит точек, лежащих на его границе; таким образом, в неформальном, интуитивном смысле, возможность разбить пространство на непересекающиеся открытые множества указывает на то, что граница между этими множествами не принадлежит пространству и, следовательно, разделяет его на две отдельные части.

Другие понятия взаимосвязанности

Поля математики обычно имеют дело со специальными типами объектов. Часто такой объект называют связным, если при рассмотрении его как топологического пространства он является связным пространством. Таким образом, многообразия, группы Ли и графы называются связными, если они связны как топологические пространства, а их компоненты связности – это топологические компоненты. Иногда удобно переформулировать определение связности в таких областях. Например, граф называется связным, если каждая пара вершин в графе соединена путем. Это определение эквивалентно топологическому, применимому к графам, но с ним проще работать в контексте теории графов. Теория графов также предлагает меру связности, не зависящую от контекста, – коэффициент кластеризации. Другие области математики имеют дело с объектами, которые редко рассматриваются как топологические пространства. Тем не менее, определения связности часто в той или иной степени отражают топологический смысл. Например, в теории категорий категория называется связной, если каждая пара объектов в ней соединена последовательностью морфизмов. Таким образом, категория связна, если она, интуитивно, представляет собой единое целое. Могут существовать различные понятия связности, которые интуитивно похожи, но различаются как формально определенные концепции. Можно назвать топологическое пространство связным, если каждая пара точек в нем соединена путем. Однако это условие оказывается более строгим, чем стандартная топологическая связность; в частности, существуют связные топологические пространства, для которых это свойство не выполняется. В связи с этим используется другая терминология: пространства с этим свойством называются путь-связными. Хотя не все связные пространства путь-связны, все путь-связные пространства связны. Термины, связанные со связностью, также используются для свойств, которые связаны с ней, но явно отличаются от нее. Например, путь-связное топологическое пространство называется просто связным, если каждая петля (путь от точки к самой себе) в нем стягиваема; то есть, интуитивно, если существует по существу только один способ добраться от любой точки к любой другой точке. Таким образом, сфера и диск просто связны, а тор – нет. В качестве другого примера, ориентированный граф называется сильно связным, если каждая упорядоченная пара вершин соединена ориентированным путем (то есть путем, который "следует по стрелкам"). Другие понятия выражают то, как объект не является связным. Например, топологическое пространство называется совершенно несвязным, если каждая из его компонент связности состоит из одной точки.

Fields of mathematics are typically concerned with special kinds of objects. Often such an object is said to be connected if, when it is considered as a topological space, it is a connected space. Thus, manifolds, Lie groups, and graphs are all called connected if they are connected as topological spaces, and their components are the topological components. Sometimes it is convenient to restate the definition of connectedness in such fields. For example, a graph is said to be connected if each pair of vertices in the graph is joined by a path. This definition is equivalent to the topological one, as applied to graphs, but it is easier to deal with in the context of graph theory. Graph theory also offers a context free measure of connectedness, called the clustering coefficient. Other fields of mathematics are concerned with objects that are rarely considered as topological spaces. Nonetheless, definitions of connectedness often reflect the topological meaning in some way. For example, in category theory, a category is said to be connected if each pair of objects in it is joined by a sequence of morphisms. Thus, a category is connected if it is, intuitively, all one piece. There may be different notions of connectedness that are intuitively similar, but different as formally defined concepts. We might wish to call a topological space connected if each pair of points in it is joined by a path. However this condition turns out to be stronger than standard topological connectedness; in particular, there are connected topological spaces for which this property does not hold. Because of this, different terminology is used; spaces with this property are said to be path connected. While not all connected spaces are path connected, all path connected spaces are connected. Terms involving connected are also used for properties that are related to, but clearly different from, connectedness. For example, a path connected topological space is simply connected if each loop (path from a point to itself) in it is contractible; that is, intuitively, if there is essentially only one way to get from any point to any other point. Thus, a sphere and a disk are each simply connected, while a torus is not. As another example, a directed graph is strongly connected if each ordered pair of vertices is joined by a directed path (that is, one that "follows the arrows"). Other concepts express the way in which an object is not connected. For example, a topological space is totally disconnected if each of its components is a single point.

Подключение

Свойства и параметры, основанные на идее связности, часто включают слово "связность". Например, в теории графов, связный граф – это граф, из которого необходимо удалить по крайней мере одну вершину, чтобы получить несвязный граф. В связи с этим, такие графы также называют 1-связными. Аналогично, граф является 2-связным, если для получения несвязного графа необходимо удалить по крайней мере две вершины. Для 3-связного графа требуется удалить по крайней мере три вершины, и так далее. Связность графа – это минимальное количество вершин, которые необходимо удалить, чтобы разъединить его. Эквивалентно, связность графа – это наибольшее целое число k, для которого граф является k-связным. Хотя терминология может различаться, существительные, обозначающие свойства, связанные со связностью, часто включают термин "связность". Таким образом, при обсуждении просто связных топологических пространств гораздо чаще говорят о простой связности, чем о простой связанности. С другой стороны, в областях, где понятие связности не определено формально, это слово может использоваться как синоним связанности. Другой пример связности можно найти в правильных мощениях. Здесь связность описывает количество соседей, доступных из одной плитки.