Кіріспе

Интервалдағы көпмүше түбірлерінің санын есептеу, оларды анықтамай
Математикада, бір айнымалы көпмүше p-нің Штурм тізбегі – p және оның туындысымен байланысты көпмүшелер тізбегі. Штурм теоремасы p-нің интервалда орналасқан нақты түбірлерінің санын, интервал шектеріндегі Штурм тізбегінің мәндерінің таңбаларының өзгеру саны арқылы көрсетеді. Бұл теорема барлық нақты сандар интервалына қолданғанда, p-нің нақты түбірлерінің жалпы санын береді.

Алгебраның негізгі теоремасы күрделі түбірлердің жалпы санын, көптігімен бірге, оңай анықтайды, бірақ оларды есептеу процедурасын ұсынбайды. Штурм теоремасы нақты түбірлердің санын есептеп, оларды интервалдарда орналастырады. Түбірлерді қамтитын интервалдарды бөлу арқылы, түбірлерді кез келгендей кішкентай интервалдарға бөлуге болады, олардың әрқайсысында дәл бір түбір болады. Бұл ең көне нақты түбірді оқшаулау алгоритмін және бір айнымалы көпмүшелер үшін кез келген дәлдікте түбірді табу алгоритмін береді. Нақты сандармен жұмыс істегенде, Штурм теоремасы Декарттың таңбалар ережесіне негізделген басқа әдістерге қарағанда тиімділігі төмен. Алайда, ол әрбір нақты жабық өрісте жұмыс істейді, сондықтан нақты сандардың бірінші реттік теориясындағы шешімділік және кванторларды жоюдың есептеу күрделілігін теориялық тұрғыдан зерттеу үшін маңызды болып табылады. Штурм тізбегі мен Штурм теоремасы 1829 жылы теореманы ашқан Жак Шарль Франсуа Штурмның есімімен аталады.

Қолдану

Жалпыланған Штурм тізбектері бір полиномиалдың түбірлерін санауға мүмкіндік береді, екінші полиномиал оң (немесе теріс) болатын жағдайда, осы түбірлерді тікелей есептемей. Егер бірінші полиномиалдың түбірі үшін оқшаулау аралығы белгілі болса, онда түбірдің жақсырақ жуықтауын есептемей, бірінші полиномиалдың осы түбірінде екінші полиномиалдың таңбасын табуға болады. P(x) және Q(x) – нақты коэффициенттері бар екі полиномиал болсын, мұнда P мен Q ортақ түбірге ие емес және P-нің көптеген түбірлері жоқ. Яғни, P және Q өзара жай полиномиалдар. GCD есептеулері арқасында жалпы жағдайды осы жағдайға келтіруге болады, сондықтан бұл шектеу келесі мәлімдемелердің жалпылығына әсер етпейді, ал Штурм тізбегін есептеу құны GCD есептеу құнымен бірдей. W(a) – P-ден басталатын жалпыланған Штурм тізбесінің a нүктесіндегі таңба өзгерістерінің санын білдірсін. Егер a < b екі нақты сан болса, онда W(a) – W(b) – Q(a) > 0 шартын қанағаттандыратын P-нің [a, b] аралығындағы түбірлерінің саны, Q(a) < 0 шартын қанағаттандыратын түбірлерінің санынан айырмасы. Бұл мәнді Стурм теоремасымен берілген [a, b] аралығындағы P-нің түбірлерінің жалпы санымен қоссақ, Q(a) > 0 шартын қанағаттандыратын P-нің түбірлерінің санын және Q(a) < 0 шартын қанағаттандыратын P-нің түбірлерінің санын аламыз.