Кіріспе
Математикада, нүктелі кеңістік немесе негізді кеңістік – ерекшеленген нүктесі бар топологиялық кеңістік, яғни негізгі нүкте. Ерекшеленген нүкте – кеңістіктен таңдалып алынған, нақты бір нүкте, оған атау беріледі, ол кейінгі талқылау барысында өзгермейді және барлық амалдарда ескеріледі. Нүктелі кеңістіктердің бейнелеулері (негізделген бейнелеулер) – негізгі нүктені сақтайтын үздіксіз бейнелеулер, яғни егер ол және топологияларына қатысты үздіксіз болса, негізгі нүктесі бар нүктелі кеңістік пен негізгі нүктесі бар нүктелі кеңістіктің арасындағы бейнелеу негізделген бейнелеу болып табылады. Бұл әдетте былай белгіленеді. Нүктелі кеңістіктер алгебралық топологияда, әсіресе гомотопия теориясында маңызды, онда көптеген құралымдар, мысалы, негізгі топ, негізгі нүктенің таңдалуына байланысты. Нүктелі жиын түсінігі осылайша, нүктелі дискретті кеңістік жағдайында болатындықтан, маңыздылығы төмен. Нүктелі кеңістіктер көбінесе салыстырмалы топологияның ерекше жағдайы ретінде қарастырылады, онда ішкі жиын бір нүкте болып табылады. Осылайша, гомотопия теориясының көп бөлігі әдетте нүктелі кеңістіктерде дамытылады, содан кейін алгебралық топологиядағы салыстырмалы топологияларға көшіріледі.
In mathematics, a pointed space or based space is a topological space with a distinguished point, the basepoint. The distinguished point is just simply one particular point, picked out from the space, and given a name, such as that remains unchanged during subsequent discussion, and is kept track of during all operations. Maps of pointed spaces (based maps) are continuous maps preserving basepoints, i. e., a map between a pointed space with basepoint and a pointed space with basepoint is a based map if it is continuous with respect to the topologies of and and if This is usually denoted
Pointed spaces are important in algebraic topology, particularly in homotopy theory, where many constructions, such as the fundamental group, depend on a choice of basepoint. The pointed set concept is less important; it is anyway the case of a pointed discrete space. Pointed spaces are often taken as a special case of the relative topology, where the subset is a single point. Thus, much of homotopy theory is usually developed on pointed spaces, and then moved to relative topologies in algebraic topology.
Шұғыл кеңістіктердің санаты
Барлық тік кеңістіктер класы морфизмдер ретінде негіз нүктесін сақтайтын үздіксіз бейнелеулермен жоғары санатты құрайды. Осы санатты қарастырудың тағы бір жолы – бұл үтірлі санат, (Top) мұндағы Top – кез келген бір нүктелі кеңістік, ал Top – топологиялық кеңістіктер санаты. (Бұл сондай-ақ coslice санат деп аталады, Top деп белгіленеді.) Осы санаттағы объектілер – үздіксіз бейнелеулер . Мұндай бейнелеулерді кеңістікте негіз нүктесін таңдау ретінде қарастыруға болады. (Top) санаттағы морфизмдер – Top санаттағы морфизмдер, олар үшін келесі диаграмма коммутативті:
Диаграмманың коммутативтілігі негіз нүктелерін сақтау шартына эквивалентті екенін көру оңай. Тік кеңістік ретінде, Top жоғары санатта нөлдік объекті болып табылады, ал Top санатта тек терминалдық объекті болып табылады. Top → Top ұмытушы функтор бар, ол негіз нүктесін қай нүкте екенін "ұмытады". Осы функтордың сол жақ қосымшасы бар, ол әр топологиялық кеңістікке және бір элементі негіз нүктесі болып есептелетін бір нүктелі кеңістікке ажыратылған қосылысты тағайындайды.