Введение

Топологическое пространство с выделенной точкой

В математике, пространство с выделенной точкой, или базисное пространство, — это топологическое пространство с выделенной точкой, называемой базовой точкой. Выделенная точка — это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, которое остается неизменным в ходе дальнейшего обсуждения и учитывается при всех операциях. Отображения пространств с выделенной точкой (базисные отображения) — это непрерывные отображения, сохраняющие базовые точки, то есть отображение между пространством с выделенной точкой с базовой точкой и пространством с выделенной точкой с базовой точкой является базисным отображением, если оно непрерывно относительно топологий этих пространств и если . Это обычно обозначается.

Пространства с выделенной точкой важны в алгебраической топологии, особенно в теории гомотопий, где многие построения, такие как фундаментальная группа, зависят от выбора базовой точки. Понятие множества с выделенной точкой менее важно, поскольку это, по сути, частный случай дискретного пространства с выделенной точкой. Пространства с выделенной точкой часто рассматриваются как частный случай относительной топологии, где подмножество состоит из одной точки. Таким образом, большая часть теории гомотопий обычно разрабатывается для пространств с выделенной точкой, а затем переносится на относительные топологии в алгебраической топологии.

Категория заостренных пространств

Класс всех указанных пространств образует категорию Top с непрерывными отображениями, сохраняющими базовую точку, в качестве морфизмов. Другой способ представить эту категорию – как категорию запятой, (Top) , где – любое одноточечное пространство, а Top – категория топологических пространств. (Это также называется кодопредельной категорией, обозначаемой Top.) Объектами в этой категории являются непрерывные отображения . Такие отображения можно рассматривать как выбор базовой точки в . Морфизмы в (Top) – это морфизмы в Top, для которых следующая диаграмма коммутативна: легко увидеть, что коммутативность диаграммы эквивалентна условию сохранения базовых точек. Как указанное пространство, является нулевым объектом в Top, а в Top – лишь терминальным объектом. Существует забывающий функтор Top → Top, который "забывает", какая точка является базовой точкой. Этот функтор имеет левый сопряженный, который каждому топологическому пространству присваивает дизъюнктное объединение и одноточечного пространства , единственным элементом которого является базовая точка.