Кіріспе
Жылжымалы нүкте қалдырған іздің математикалық идеализациясы. Математикада қисық (көне мәтіндерде қисық сызық деп те аталады) – сызыққа ұқсас, бірақ міндетті түрде түзу болмаған нысан. Интуитивті түрде қисықты қозғалатын нүкте қалдырған із ретінде қарастыруға болады. Бұл анықтама 2000 жылдан астам бұрын Евклидтің «Элементтер» еңбегінде келтірілген: «[Иілген] сызық – бұл санның бірінші түрі, оның тек бір ғана өлшемі бар, атап айтқанда, ұзындығы, ені де, тереңдігі де жоқ, және ол [ ] қиялмен қозғалысынан ұзындығы бойынша қалдық қалдыратын нүктенің ағыны немесе жүрісінен басқа ештеңе емес, ені жоқ». Бұл қисық анықтамасы қазіргі математикада былай формалданады: Қисық – үздіксіз функция арқылы топологиялық кеңістікке интервалдың бейнесі. Кейбір жағдайларда қисықты анықтайтын функция параметрлендіру деп аталады, ал қисық параметрлік қисық болып табылады. Осы мақалада мұндай қисықтар кейде топологиялық қисықтар деп аталады, оларды дифференциалданатын қисықтар сияқты шектеулі қисықтардан ажырату үшін. Бұл анықтама математикада зерттелетін көптеген қисықтарды қамтиды; ерекше жағдайлар – деңгейлік қисықтар (қисықтар мен оқшауланған нүктелердің біріктірілген жиындары) және алгебралық қисықтар (төменде қараңыз). Деңгейлік қисықтар мен алгебралық қисықтар кейде имплицитті қисықтар деп аталады, себебі олар көбінесе имплицитті теңдеулермен анықталады. Дегенмен, топологиялық қисықтар класы өте кең, және кейбір қисықтар қисық ретінде күтпегендей көрінеді немесе тіпті салынуы мүмкін емес. Бұл кеңістікті толтыру қисықтары мен фракталдық қисықтар үшін де осыған ұқсас. Қосымша реттелуді қамтамасыз ету үшін қисықты анықтайтын функция көбінесе дифференциалданатын болуы керек, сонда қисық дифференциалданатын қисық деп аталады. Жазық алгебралық қисық – екі белгісіздегі көпмүшенің нөлдік жиыны. Жалпы алғанда, алгебралық қисық – шекті көпмүшелер жиынтығының нөлдік жиыны, ол бір өлшемді алгебралық сан алуандығы болу шартын қанағаттандырады. Егер көпмүшелердің коэффициенттері k өрісіне тиесілі болса, қисық k-ға қатысты анықталған деп айтылады. k – нақты сандар өрісі болатын нақты алгебралық қисықтың әдеттегі жағдайында алгебралық қисық – топологиялық қисықтардың шекті біріктірілген жиыны. Кешенді нөлдер ескерілгенде, кешенді алгебралық қисық пайда болады, ол топологиялық тұрғыдан қисық емес, беткей болып табылады және көбінесе Риман беті деп аталады. Қисықтардың дәстүрлі мағынасында болмаса да, басқа өрістерде анықталған алгебралық қисықтар кеңінен зерттелді. Атап айтқанда, шекті өрістегі алгебралық қисықтар қазіргі криптографияда кеңінен қолданылады.
In mathematics, a curve (also called a curved line in older texts) is an object similar to a line, but that does not have to be straight. Intuitively, a curve may be thought of as the trace left by a moving point. This is the definition that appeared more than 2000 years ago in Euclid's Elements: "The [curved] line is [ ] the first species of quantity, which has only one dimension, namely length, without any width nor depth, and is nothing else than the flow or run of the point which [ ] will leave from its imaginary moving some vestige in length, exempt of any width." This definition of a curve has been formalized in modern mathematics as: A curve is the image of an interval to a topological space by a continuous function. In some contexts, the function that defines the curve is called a parametrization, and the curve is a parametric curve. In this article, these curves are sometimes called topological curves to distinguish them from more constrained curves such as differentiable curves. This definition encompasses most curves that are studied in mathematics; notable exceptions are level curves (which are unions of curves and isolated points), and algebraic curves (see below). Level curves and algebraic curves are sometimes called implicit curves, since they are generally defined by implicit equations. Nevertheless, the class of topological curves is very broad, and contains some curves that do not look as one may expect for a curve, or even cannot be drawn. This is the case of space filling curves and fractal curves. For ensuring more regularity, the function that defines a curve is often supposed to be differentiable, and the curve is then said to be a differentiable curve. A plane algebraic curve is the zero set of a polynomial in two indeterminates. More generally, an algebraic curve is the zero set of a finite set of polynomials, which satisfies the further condition of being an algebraic variety of dimension one. If the coefficients of the polynomials belong to a field k, the curve is said to be defined over k. In the common case of a real algebraic curve, where k is the field of real numbers, an algebraic curve is a finite union of topological curves. When complex zeros are considered, one has a complex algebraic curve, which, from the topological point of view, is not a curve, but a surface, and is often called a Riemann surface. Although not being curves in the common sense, algebraic curves defined over other fields have been widely studied. In particular, algebraic curves over a finite field are widely used in modern cryptography.
Дифференциалданған доға
Евклид геометриясында доға (символ: ⌒) – ерекшеленетін қисықтың байланысқан бөлігі. Сызықтардың доғалары олардың шектелуіне қарай кесімдер, сәулелер немесе түзулер деп аталады. Жиі кездесетін қисық мысалы – шеңбер доғасы, оны дөңгелек доға деп те атайды. Сферада (немесе сфероидте) үлкен шеңбердің (немесе үлкен эллипстің) доғасы үлкен доға деп аталады.
Алгебралық қисық
Алгебралық қисықтар — алгебралық геометрияда қарастырылатын қисықтар. Жазық алгебралық қисық — x, y координаттары бар нүктелер жиынтығы, мұнда f(x, y) = 0, ал f — белгілі бір өріс F-де анықталған екі айнымалының көпмүшесі. Қисық F-де анықталған деп айтылады. Алгебралық геометрия әдетте F-дегі координаттары бар нүктелерді ғана емес, сонымен қатар алгебралық жабық өріс K-дегі координаттары бар барлық нүктелерді қарастырады. Егер C қисығы F-дегі коэффициенттері бар f көпмүшесімен анықталса, онда қисық F-де анықталған болып есептеледі.
If C is a curve defined by a polynomial f with coefficients in F, the curve is said to be defined over F.
In the case of a curve defined over the real numbers, one normally considers points with complex coordinates. In this case, a point with real coordinates is a real point, and the set of all real points is the real part of the curve. It is therefore only the real part of an algebraic curve that can be a topological curve (this is not always the case, as the real part of an algebraic curve may be disconnected and contain isolated points). The whole curve, that is the set of its complex point is, from the topological point of view a surface. In particular, the nonsingular complex projective algebraic curves are called Riemann surfaces. The points of a curve C with coordinates in a field G are said to be rational over G and can be denoted C(G). When G is the field of the rational numbers, one simply talks of rational points. For example, Fermat's Last Theorem may be restated as: For n > 2, every rational point of the Fermat curve of degree n has a zero coordinate. Algebraic curves can also be space curves, or curves in a space of higher dimension, say n. They are defined as algebraic varieties of dimension one. They may be obtained as the common solutions of at least n–1 polynomial equations in n variables. If n–1 polynomials are sufficient to define a curve in a space of dimension n, the curve is said to be a complete intersection. By eliminating variables (by any tool of elimination theory), an algebraic curve may be projected onto a plane algebraic curve, which however may introduce new singularities such as cusps or double points. A plane curve may also be completed to a curve in the projective plane: if a curve is defined by a polynomial f of total degree d, then w^(d)f(u/w, v/w) simplifies to a homogeneous polynomial g(u, v, w) of degree d. The values of u, v, w such that 1=g(u, v, w) = 0 are the homogeneous coordinates of the points of the completion of the curve in the projective plane and the points of the initial curve are those such that w is not zero. An example is the Fermat curve 1=u^(n) + v^(n) = w^(n), which has an affine form 1=x^(n) + y^(n) = 1. A similar process of homogenization may be defined for curves in higher dimensional spaces. Except for lines, the simplest examples of algebraic curves are the conics, which are nonsingular curves of degree two and genus zero. Elliptic curves, which are nonsingular curves of genus one, are studied in number theory, and have important applications to cryptography.
Нақты сандарда анықталған қисық жағдайында, күрделі координаттары бар нүктелер қарастырылады. Бұл жағдайда, нақты координаттары бар нүкте — нақты нүкте, ал барлық нақты нүктелер жиынтығы — қисықтың нақты бөлігі. Сондықтан алгебралық қисықтың тек нақты бөлігі ғана топологиялық қисық бола алады (бұл әрқашан орындалмайды, себебі алгебралық қисықтың нақты бөлігі үзіліске ұшырауы және оқшауланған нүктелерді қамтуы мүмкін). Қисықтың толық бөлігі, яғни оның күрделі нүктелер жиынтығы, топологиялық тұрғыдан алғанда бет болып табылады. Атап айтқанда, сингулярлықтары жоқ күрделі проективті алгебралық қисықтар Риман беттері деп аталады. G өрісіндегі координаттары бар C қисығының нүктелері G-ге қатысты рационал деп аталады және C(G) деп белгіленеді. Егер G рационалдық сандар өрісі болса, онда жай ғана рационалдық нүктелер туралы айтылады. Мысалы, Ферманың соңғы теоремасын былай қайта формулиреуге болады: n > 2 үшін, n дәрежелі Ферма қисығының кез келген рационалдық нүктесінің координаттарының бірі нөлге тең. Алгебралық қисықтар кеңістіктегі қисықтар немесе жоғары өлшемді кеңістіктегі қисықтар болуы мүмкін, мысалы, n. Олар бір өлшемді алгебралық сорттар ретінде анықталады. Олар кем дегенде n–1 көпмүшелік теңдеудің n айнымалыдағы ортақ шешімдері ретінде алынуы мүмкін. Егер n–1 көпмүше n өлшемді кеңістіктегі қисықты анықтау үшін жеткілікті болса, онда қисық толық қиылыс деп аталады. Айырмашылықты жою арқылы (элиминация теориясының кез келген құралын пайдаланып), алгебралық қисықты жазық алгебралық қисыққа проекциялауға болады, бірақ бұл конус немесе екі еселі нүктелер сияқты жаңа сингулярлықтарды енгізуі мүмкін. Жазық қисықты проективті жазықтықтағы қисыққа толықтыруға болады: егер қисық f көпмүшесімен анықталса және оның толық дәрежесі d болса, онда w^d f(u/w, v/w) d дәрежелі g(u, v, w) гомогенді көпмүшесіне дейін ықшамдалады. u, v, w мәндері, мұнда g(u, v, w) = 0, проективті жазықтықтағы қисықтың толықтырылған нүктелерінің гомогенді координаттарын білдіреді, ал бастапқы қисықтың нүктелері w нөлге тең емес жағдайларда орналасады. Мысалы, Ферма қисығы u^n + v^n = w^n, оның аффиндік түрі x^n + y^n = 1. Жоғары өлшемді кеңістіктердегі қисықтар үшін ұқсас гомогендеу процесін анықтауға болады. Сызықтардан басқа, алгебралық қисықтардың ең қарапайым мысалдары — коникалар, олар екінші дәрежелі және нөлдік родтағы сингулярлықтары жоқ қисықтар. Эллипстік қисықтар, яғни бірінші родтағы сингулярлықтары жоқ қисықтар, сандар теориясында зерттеледі және криптографияда маңызды қолданысқа ие.
If C is a curve defined by a polynomial f with coefficients in F, the curve is said to be defined over F.
In the case of a curve defined over the real numbers, one normally considers points with complex coordinates. In this case, a point with real coordinates is a real point, and the set of all real points is the real part of the curve. It is therefore only the real part of an algebraic curve that can be a topological curve (this is not always the case, as the real part of an algebraic curve may be disconnected and contain isolated points). The whole curve, that is the set of its complex point is, from the topological point of view a surface. In particular, the nonsingular complex projective algebraic curves are called Riemann surfaces. The points of a curve C with coordinates in a field G are said to be rational over G and can be denoted C(G). When G is the field of the rational numbers, one simply talks of rational points. For example, Fermat's Last Theorem may be restated as: For n > 2, every rational point of the Fermat curve of degree n has a zero coordinate. Algebraic curves can also be space curves, or curves in a space of higher dimension, say n. They are defined as algebraic varieties of dimension one. They may be obtained as the common solutions of at least n–1 polynomial equations in n variables. If n–1 polynomials are sufficient to define a curve in a space of dimension n, the curve is said to be a complete intersection. By eliminating variables (by any tool of elimination theory), an algebraic curve may be projected onto a plane algebraic curve, which however may introduce new singularities such as cusps or double points. A plane curve may also be completed to a curve in the projective plane: if a curve is defined by a polynomial f of total degree d, then w^(d)f(u/w, v/w) simplifies to a homogeneous polynomial g(u, v, w) of degree d. The values of u, v, w such that 1=g(u, v, w) = 0 are the homogeneous coordinates of the points of the completion of the curve in the projective plane and the points of the initial curve are those such that w is not zero. An example is the Fermat curve 1=u^(n) + v^(n) = w^(n), which has an affine form 1=x^(n) + y^(n) = 1. A similar process of homogenization may be defined for curves in higher dimensional spaces. Except for lines, the simplest examples of algebraic curves are the conics, which are nonsingular curves of degree two and genus zero. Elliptic curves, which are nonsingular curves of genus one, are studied in number theory, and have important applications to cryptography.