Математическая идеализация следа движущейся точки

Введение

Математическая идеализация следа, оставленного движущейся точкой.

В математике кривая (также называемая кривой линией в старых текстах) — это объект, похожий на линию, но не обязательно прямой. Интуитивно, кривую можно представить как след, оставленный движущейся точкой. Это определение, появившееся более 2000 лет назад в «Элементах» Евклида: «Линия [искривлённая] — это [ ] первый вид величины, которая имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины или глубины, и является ничем иным, как потоком или движением точки, которая [ ] оставит от своего воображаемого движения некий след в длине, лишённый какой-либо ширины». Это определение кривой было формализовано в современной математике следующим образом: кривая — это образ интервала в топологическом пространстве, заданный непрерывной функцией. В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией, а кривая — параметрической кривой. В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми, чтобы отличать их от более строгих кривых, таких как дифференцируемые кривые. Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых в математике; заметными исключениями являются кривые уровня (которые являются объединениями кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными, поскольку они обычно определяются неявными уравнениями. Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно ожидать от кривой, или даже не могут быть изображены. Это относится к кривым, заполняющим пространство, и фрактальным кривым. Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто предполагается дифференцируемой, и такая кривая называется дифференцируемой кривой. Плоская алгебраическая кривая — это множество нулей многочлена двух переменных. В более общем случае алгебраическая кривая — это множество нулей конечного набора многочленов, удовлетворяющее дополнительному условию — быть алгебраическим многообразием размерности один. Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k, то говорят, что кривая определена над k. В распространённом случае реальной алгебраической кривой, где k — поле действительных чисел, алгебраическая кривая является конечным объединением топологических кривых. При рассмотрении комплексных нулей получается комплексная алгебраическая кривая, которая, с топологической точки зрения, является не кривой, а поверхностью и часто называется поверхностью Римана. Хотя они и не являются кривыми в обычном смысле, алгебраические кривые, определённые над другими полями, широко изучались. В частности, алгебраические кривые над конечным полем широко используются в современной криптографии.

In mathematics, a curve (also called a curved line in older texts) is an object similar to a line, but that does not have to be straight. Intuitively, a curve may be thought of as the trace left by a moving point. This is the definition that appeared more than 2000 years ago in Euclid's Elements: "The [curved] line is [ ] the first species of quantity, which has only one dimension, namely length, without any width nor depth, and is nothing else than the flow or run of the point which [ ] will leave from its imaginary moving some vestige in length, exempt of any width." This definition of a curve has been formalized in modern mathematics as: A curve is the image of an interval to a topological space by a continuous function. In some contexts, the function that defines the curve is called a parametrization, and the curve is a parametric curve. In this article, these curves are sometimes called topological curves to distinguish them from more constrained curves such as differentiable curves. This definition encompasses most curves that are studied in mathematics; notable exceptions are level curves (which are unions of curves and isolated points), and algebraic curves (see below). Level curves and algebraic curves are sometimes called implicit curves, since they are generally defined by implicit equations. Nevertheless, the class of topological curves is very broad, and contains some curves that do not look as one may expect for a curve, or even cannot be drawn. This is the case of space filling curves and fractal curves. For ensuring more regularity, the function that defines a curve is often supposed to be differentiable, and the curve is then said to be a differentiable curve. A plane algebraic curve is the zero set of a polynomial in two indeterminates. More generally, an algebraic curve is the zero set of a finite set of polynomials, which satisfies the further condition of being an algebraic variety of dimension one. If the coefficients of the polynomials belong to a field k, the curve is said to be defined over k. In the common case of a real algebraic curve, where k is the field of real numbers, an algebraic curve is a finite union of topological curves. When complex zeros are considered, one has a complex algebraic curve, which, from the topological point of view, is not a curve, but a surface, and is often called a Riemann surface. Although not being curves in the common sense, algebraic curves defined over other fields have been widely studied. In particular, algebraic curves over a finite field are widely used in modern cryptography.

Дифференцируемая дуга

В евклидовой геометрии дуга (символ: ⌒) — это связное подмножество дифференцируемой кривой. Дуги прямых называются отрезками, лучами или прямыми, в зависимости от их границ. Распространенным примером кривой является дуга окружности, называемая круговой дугой. На сфере (или сфероиде) дуга большого круга (или большой эллипса) называется большой дугой.

Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые — это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами x, y, таких что f(x, y) = 0, где f — многочлен двух переменных, определенный на некотором поле F. Говорят, что кривая определена над F. Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами в F, но и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле K. Если C — кривая, определяемая многочленом f с коэффициентами в F, то кривая считается определенной над F.

Algebraic curves are the curves considered in algebraic geometry. A plane algebraic curve is the set of the points of coordinates x, y such that 1=f(x, y) = 0, where f is a polynomial in two variables defined over some field F. One says that the curve is defined over F. Algebraic geometry normally considers not only points with coordinates in F but all the points with coordinates in an algebraically closed field K.

If C is a curve defined by a polynomial f with coefficients in F, the curve is said to be defined over F.

In the case of a curve defined over the real numbers, one normally considers points with complex coordinates. In this case, a point with real coordinates is a real point, and the set of all real points is the real part of the curve. It is therefore only the real part of an algebraic curve that can be a topological curve (this is not always the case, as the real part of an algebraic curve may be disconnected and contain isolated points). The whole curve, that is the set of its complex point is, from the topological point of view a surface. In particular, the nonsingular complex projective algebraic curves are called Riemann surfaces. The points of a curve C with coordinates in a field G are said to be rational over G and can be denoted C(G). When G is the field of the rational numbers, one simply talks of rational points. For example, Fermat's Last Theorem may be restated as: For n > 2, every rational point of the Fermat curve of degree n has a zero coordinate. Algebraic curves can also be space curves, or curves in a space of higher dimension, say n. They are defined as algebraic varieties of dimension one. They may be obtained as the common solutions of at least n–1 polynomial equations in n variables. If n–1 polynomials are sufficient to define a curve in a space of dimension n, the curve is said to be a complete intersection. By eliminating variables (by any tool of elimination theory), an algebraic curve may be projected onto a plane algebraic curve, which however may introduce new singularities such as cusps or double points. A plane curve may also be completed to a curve in the projective plane: if a curve is defined by a polynomial f of total degree d, then w^(d)f(u/w, v/w) simplifies to a homogeneous polynomial g(u, v, w) of degree d. The values of u, v, w such that 1=g(u, v, w) = 0 are the homogeneous coordinates of the points of the completion of the curve in the projective plane and the points of the initial curve are those such that w is not zero. An example is the Fermat curve 1=u^(n) + v^(n) = w^(n), which has an affine form 1=x^(n) + y^(n) = 1. A similar process of homogenization may be defined for curves in higher dimensional spaces. Except for lines, the simplest examples of algebraic curves are the conics, which are nonsingular curves of degree two and genus zero. Elliptic curves, which are nonsingular curves of genus one, are studied in number theory, and have important applications to cryptography.

В случае кривой, определенной над действительными числами, обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с действительными координатами является действительной точкой, а множество всех действительных точек — действительной частью кривой. Следовательно, только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть несвязной и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть множество ее комплексных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, несингулярные комплексные проективные алгебраические кривые называются поверхностями Римана. Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут обозначаться C(G). Когда G — поле рациональных чисел, говорят просто о рациональных точках. Например, последнюю теорему Ферма можно переформулировать следующим образом: для n > 2 каждая рациональная точка кривой Ферма степени n имеет нулевую координату. Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокой размерности, скажем, n. Они определяются как алгебраические многообразия размерности один. Они могут быть получены как общие решения как минимум n–1 полиномиальных уравнений в n переменных. Если n–1 многочленов достаточно для определения кривой в пространстве размерности n, то кривая называется полным пересечением. Путем исключения переменных (с помощью любого инструмента теории исключения) алгебраическая кривая может быть спроецирована на плоскую алгебраическую кривую, которая, однако, может вводить новые сингулярности, такие как вершины или двойные точки. Плоская кривая также может быть дополнена до кривой в проективной плоскости: если кривая определена многочленом f общей степени d, то w^d f(u/w, v/w) упрощается до однородного многочлена g(u, v, w) степени d. Значения u, v, w, такие что g(u, v, w) = 0, являются однородными координатами точек дополнения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой — те, для которых w не равно нулю. Примером является кривая Ферма u^n + v^n = w^n, которая имеет аффинную форму x^n + y^n = 1. Аналогичный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в пространствах более высокой размерности. За исключением прямых, простейшими примерами алгебраических кривых являются конические, которые являются несингулярными кривыми второй степени и рода ноль. Эллиптические кривые, которые являются несингулярными кривыми первого рода, изучаются в теории чисел и имеют важное применение в криптографии.