Введение

Метод гидродинамического моделирования

[[File:Sph flow cylinder fs. jpg|thumb|Обтекание цилиндра со свободной поверхностью, смоделированное методом SPH. См. Lucy, 1977, изначально для астрофизических задач. Метод применялся в различных областях исследований, включая астрофизику, баллистику, вулканологию и океанографию. Это безсеточный лагранжевый метод (где координаты перемещаются вместе с жидкостью), и разрешение метода можно легко регулировать в зависимости от таких переменных, как плотность.

Преимущества

По конструкции, SPH является методом, не использующим сетку, что делает его идеально подходящим для моделирования задач, в которых доминирует сложная динамика границ, таких как свободные поверхностные течения или большие смещения границ. Отсутствие сетки значительно упрощает реализацию модели и её параллелизацию, даже для многоядерных архитектур. SPH может быть легко расширен для применения в самых разных областях и гибридизирован с другими моделями, как обсуждается в "Modelling Physics". Как обсуждается в разделе, посвященном слабо сжимаемому SPH, метод обладает отличными свойствами сохранения. Вычислительная стоимость SPH-симуляций на единицу числа частиц значительно ниже, чем стоимость симуляций на основе сетки на единицу числа ячеек, когда интересующая метрика связана с плотностью жидкости (например, функция плотности вероятности флуктуаций плотности). Это связано с тем, что в SPH разрешение сосредоточено там, где находится вещество.

Ограничения

Установление граничных условий в SPH, таких как входы, выходы и стенки, сложнее, чем в методах, основанных на сетке. Фактически, было отмечено, что "реализация граничных условий, безусловно, является одним из наиболее сложных технических аспектов метода SPH". Эта сложность отчасти обусловлена тем, что в SPH частицы вблизи границы изменяются со временем. Тем не менее, граничные условия для стенок в SPH доступны.

Вычислительная стоимость SPH-симуляций на единицу числа частиц значительно выше, чем стоимость симуляций на основе сетки на единицу числа ячеек, когда интересующая метрика не связана (непосредственно) с плотностью (например, спектр кинетической энергии). M. Ihmsen и др., 2010, представили обработку граничных условий и адаптивный шаг по времени для PCISPH для точного моделирования взаимодействий с жесткими телами.

K. Bodin и др., 2011, заменили стандартное уравнение состояния давления ограничением плотности и применили вариационный интегратор по времени.

R. Hoetzlein, 2012, разработал эффективный SPH на основе GPU для больших сцен в Fluids v.3.

N. Akinci и др., 2012, представили универсальную обработку граничных условий и двухстороннюю технику жесткой связи SPH, полностью основанную на гидродинамических силах; подход применим к различным типам решателей SPH.

M. Macklin и др., 2013, смоделировали несжимаемые течения в рамках Position Based Dynamics, используя большие шаги по времени.

N. Akinci и др., 2013, представили универсальный метод поверхностного натяжения и двухсторонней адгезии жидкости и твердого тела, позволяющий моделировать различные интересные физические эффекты, наблюдаемые в реальности.

J. Kyle и E. Terrell, 2013, применили SPH к моделированию полной смазки.

A. Mahdavi и N. Talebbeydokhti, 2015, предложили гибридный алгоритм для реализации граничного условия для твердого тела и смоделировали течение над острым гребнем.

S. Tavakkol и др., 2016, разработали curvSPH, который делает горизонтальный и вертикальный размеры частиц независимыми и генерирует равномерное распределение массы вдоль изогнутых границ.

W. Kostorz и A. Esmail Yakas, 2020, предложили общий, эффективный и простой метод для оценки коэффициентов нормализации вблизи граничных поверхностей, заданных кусочно-плоскостными функциями.

Астрофизика

Адаптивное разрешение метода сглаженных частиц гидродинамики, численное сохранение физически сохраняемых величин и способность моделировать явления, охватывающие множество порядков величины, делают его идеальным для вычислений в теоретической астрофизике. Моделирование формирования галактик, звёзд, столкновений звёзд, сверхновых и метеоритных ударов – лишь некоторые из широкого спектра астрофизических и космологических применений этого метода. SPH используется для моделирования гидродинамических потоков, включая возможные эффекты гравитации. Включение других астрофизических процессов, которые могут быть значимыми, таких как радиационный перенос и магнитные поля, является активной областью исследований в астрономическом сообществе и добилось некоторого ограниченного успеха.

Интерполяции

Метод гидродинамики гладких частиц (SPH) работает путем разделения жидкости на набор дискретных движущихся элементов, называемых частицами. Их лагранжева природа позволяет задавать их положение путем интегрирования их скорости как:

Эти частицы взаимодействуют через функцию ядра с характерным радиусом, известным как "длина сглаживания", обычно обозначаемую в уравнениях как . Это означает, что физическое значение любой частицы может быть получено путем суммирования соответствующих свойств всех частиц, находящихся в пределах области действия ядра, которое используется в качестве весовой функции. Это можно понять в два этапа. Во-первых, произвольное поле записывается как свертка с :

Погрешность при выполнении вышеуказанного приближения имеет порядок . Во-вторых, интеграл аппроксимируется суммой Римана по частицам:

где суммирование по включает в себя все частицы в моделировании. – объем частицы, – значение величины для частицы , а – положение. Например, плотность частицы может быть выражена как:

где – масса частицы, а – плотность частицы, при этом – сокращенное обозначение для . Погрешность, возникающая при аппроксимации интеграла дискретной суммой, зависит от , от размера частицы (т.е., являясь размерностью пространства) и от расположения частиц в пространстве. Последний эффект изучен недостаточно. К наиболее часто используемым функциям ядра относятся функция Гаусса, квинтический сплайн и ядро Вендланда. Последние два ядра имеют компактный носитель (в отличие от гауссова, где существует небольшой вклад на любом конечном расстоянии), с носителем, пропорциональным . Это дает преимущество в виде экономии вычислительных ресурсов, поскольку исключает относительно незначительный вклад удаленных частиц. Хотя размер длины сглаживания может быть фиксированным как в пространстве, так и во времени, это не позволяет в полной мере использовать возможности SPH. Присваивая каждой частице собственную длину сглаживания и позволяя ей изменяться со временем, можно добиться автоматической адаптации разрешения моделирования к локальным условиям. Например, в очень плотной области, где много частиц находятся близко друг к другу, длина сглаживания может быть относительно короткой, обеспечивая высокое пространственное разрешение. И наоборот, в областях с низкой плотностью, где отдельные частицы находятся далеко друг от друга и разрешение низкое, длину сглаживания можно увеличить, оптимизируя вычисления для интересующих областей.

Интеграция времени

На основе работ, проведённых в 80-х и 90-х годах по численному интегрированию точечных частиц в больших ускорителях, были разработаны подходящие численные методы интегрирования по времени, обладающие точными свойствами сохранения на больших временных интервалах; они называются симплектическими интеграторами. Наиболее распространённым в литературе по SPH является метод скачка (leapfrog), который для каждой частицы записывается следующим образом:

где – шаг по времени, верхние индексы обозначают временные итерации, а – ускорение частицы, определяемое правой частью уравнения движения. Существуют и другие симплектические интеграторы (см. учебник). Рекомендуется использовать симплектическую схему (даже низкого порядка) вместо несимплектической схемы высокого порядка, чтобы избежать накопления ошибок после большого числа итераций. Интегрирование плотности не изучалось достаточно подробно (подробнее см. ниже). Симплектические схемы являются консервативными, но неявными, поэтому для обеспечения их численной устойчивости требуются условия устойчивости, аналогичные условию Куранта — Фридрихса — Леви (см. ниже).

Граничные методы

Если свертка SPH выполняется вблизи границы, то есть на расстоянии меньше s · h, то область интегрирования усекается. Действительно, когда на свертку влияет граница, свертка разбивается на два интеграла, где B(r) – это компактный шар поддержки с центром в точке r и радиусом s · h, а Ω(r) обозначает часть компактного шара поддержки, находящуюся внутри вычислительной области, то есть пересечение Ω и B(r). Следовательно, реализация граничных условий в SPH полностью основана на аппроксимации второго интеграла в правой части. То же самое, разумеется, применимо и к вычислению дифференциальных операторов. В прошлом было предложено несколько методов моделирования границ в SPH.

Астрофизика

Часто в астрофизике возникает необходимость моделировать самогравитацию в дополнение к чистой гидродинамике. Основанная на частицах природа SPH делает её идеально подходящей для совместного использования с решателем гравитации, также основанным на частицах, например, кодом гравитации на основе деревьев, методом частиц-сетка или методом частиц-частиц-сетка.

Другие

Метод дискретных элементов, используемый для моделирования гранулированных материалов, связан с SPH.