Екі өлшемді конформдық өріс теориялары мен теориялық физикадағы алгебралар

2D конформдық өріс теориясы мен теориялық физикадағы VOA алгебрасы. Вертекс алгебрасы, құрылымы, қолданылуы, және математикадағы рөлі туралы ақпарат.

11 мин оқу

100%

Дереккөз: Vertex operator algebra — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Алгебра 2D конформдық өріс теорияларында және сап теориясында қолданылады. Математикада, vertex operator algebra (VOA) – екі өлшемді конформдық өріс теориясында және сап теориясында маңызды рөл атқаратын алгебралық құрылым. Физикалық қолданыстардан басқа, vertex операторлық алгебралар таза математикалық контекстерде де пайдалы болып шықты, мысалы, айшықты айшық және геометриялық Лэнгленд сәйкестігі сияқты. Вертекс алгебрасының осымен байланысты түсінігін 1986 жылы Ричард Борчердс енгізді, оны Игорь Френкельдің шексіз өлшемді Ли алгебрасының құрылымы ынталандырды. Бұл құрылым барысында, тор элементтеріне байланысты vertex операторларының әрекетін қабылдайтын Фок кеңістігі қолданылады. Борчердс vertex алгебрасы туралы түсінікті тор vertex операторлары арасындағы қатынастарды аксиоматизациялау арқылы жасады, бұл Френкель әдісін қолдану арқылы жаңа Ли алгебраларын құруға мүмкіндік беретін алгебралық құрылымды тудырады. 1988 жылы Френкель, Джеймс Леповский және Арне Мюрман айшықты ай модульін құру жобасының бөлігі ретінде vertex операторлық алгебрасы ұғымын vertex алгебрасы ұғымының модификациясы ретінде енгізді. Олар «табиғатта» пайда болатын көптеген vertex алгебралары Вирасоро алгебрасының әрекетін жүзеге асыратынын және энергия операторына қатысты төменгі шектеулі қасиетке ие екенін байқады. Осы байқауға ынталандырылып, олар Вирасоро әрекетін және төменгі шектеулі қасиетті аксиома ретінде қосты. Қазір физикадан алынған осы ұғымдарға пост-фактум негіздеме және бастапқыда белгісіз болған аксиомалардың бірнеше түсіндірмелері бар. Физикалық тұрғыдан, екі өлшемді конформдық өріс теориясындағы нүктелердегі голоморфты өріс енгізулерінен туындайтын vertex операторлары, енгізулер беткешкенде операторлық өнімнің кеңеюін қабылдайды, және олар vertex операторлық алгебраның анықтамасында көрсетілген қатынастарды дәл қанағаттандырады. Шындығында, vertex операторлық алгебраның аксиомалары физиктер хиральды алгебра деп атағанның формальды алгебралық интерпретациясы болып табылады (математикада осы атаумен бірдей нақты ұғыммен шатастырмау керек) немесе «хиральды симметриялар алгебрасы», онда бұл симметриялар берілген конформдық өріс теориясымен қанағаттандырылатын Уорд сәйкестіктерін сипаттайды, соның ішінде конформдық инварианттылық. Vertex алгебра аксиомаларының басқа формулировкаларына Борчердстің кейінірек сингулярлы коммутативті сақиналар, Хуан, Крыз және басқалар енгізген қисықтардағы белгілі бір операдтардағы алгебралар, Александр Бейлинсон және Владимир Дринфельд енгізген хиральды алгебралар деп аталатын D-модульді теориялық объектілер және факторлау алгебралары кіреді, сонымен қатар Бейлинсон мен Дринфельд енгізген. Vertex операторлық алгебраларының маңызды негізгі мысалдары: торлы VOA (торлы конформдық өріс теориясын модельдеу), аффинді Kac–Moody алгебраларының өкілдіктерімен берілген VOA (WZW моделінен), Virasoro VOA, Virasoro алгебрасының өкілдіктеріне сәйкес келетін VOA және айшықты ай модулі V♮, ол монстрлық симметриясымен ерекшеленеді. Аффинді W алгебралары және күрделі көпқырлыдағы хиральды де Рам кешені сияқты күрделі мысалдар геометриялық өкілдік теориясында және математикалық физикада пайда болады.

Algebra used in 2D conformal field theories and string theory

In mathematics, a vertex operator algebra (VOA) is an algebraic structure that plays an important role in two dimensional conformal field theory and string theory. In addition to physical applications, vertex operator algebras have proven useful in purely mathematical contexts such as monstrous moonshine and the geometric Langlands correspondence. The related notion of vertex algebra was introduced by Richard Borcherds in 1986, motivated by a construction of an infinite dimensional Lie algebra due to Igor Frenkel. In the course of this construction, one employs a Fock space that admits an action of vertex operators attached to elements of a lattice. Borcherds formulated the notion of vertex algebra by axiomatizing the relations between the lattice vertex operators, producing an algebraic structure that allows one to construct new Lie algebras by following Frenkel's method. The notion of vertex operator algebra was introduced as a modification of the notion of vertex algebra, by Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman in 1988, as part of their project to construct the moonshine module. They observed that many vertex algebras that appear 'in nature' carry an action of the Virasoro algebra, and satisfy a bounded below property with respect to an energy operator. Motivated by this observation, they added the Virasoro action and bounded below property as axioms. We now have post hoc motivation for these notions from physics, together with several interpretations of the axioms that were not initially known. Physically, the vertex operators arising from holomorphic field insertions at points in two dimensional conformal field theory admit operator product expansions when insertions collide, and these satisfy precisely the relations specified in the definition of vertex operator algebra. Indeed, the axioms of a vertex operator algebra are a formal algebraic interpretation of what physicists call chiral algebras (not to be confused with the more precise notion with the same name in mathematics) or "algebras of chiral symmetries", where these symmetries describe the Ward identities satisfied by a given conformal field theory, including conformal invariance. Other formulations of the vertex algebra axioms include Borcherds's later work on singular commutative rings, algebras over certain operads on curves introduced by Huang, Kriz, and others, D module theoretic objects called chiral algebras introduced by Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld and factorization algebras, also introduced by Beilinson and Drinfeld. Important basic examples of vertex operator algebras include the lattice VOAs (modeling lattice conformal field theories), VOAs given by representations of affine Kac–Moody algebras (from the WZW model), the Virasoro VOAs, which are VOAs corresponding to representations of the Virasoro algebra, and the moonshine module V♮, which is distinguished by its monster symmetry. More sophisticated examples such as affine W algebras and the chiral de Rham complex on a complex manifold arise in geometric representation theory and mathematical physics.

Бағаналық алгебра

Алгебралық нүкте - белгілі бір аксиомаларды қанағаттандыратын деректер жиыны.

Деректер

векторлық кеңістік, күйлер кеңістігі деп аталады. Негізгі өріс әдетте кешенді сандар болып қабылданады, бірақ Борхердстің бастапқы тұжырымы кез келген коммутативтік сақинаға мүмкіндік берді. Сәйкестік элементі, кейде немесе деп жазылады, вакуумдық күйді білдіреді. "Аударма" деп аталатын эндоморфизм. (Борхердстің бастапқы тұжырымы негізгі сақина бөлінетін болмағандықтан, бөлінген күштер жүйесін қамтыды.) Сызықтық көбейту картасы, мұнда – бұл коэффициенттері бар барлық формальды Лоран қатарларының кеңістігі. Бұл құрылымның бірнеше баламалы ұсыныстары бар: біртұтас жиынтық ретінде билинейрлік өнімдер, мұнда және , сондықтан әрбір үшін, үшін осы жағдайда сол жақтан көбейту картасы ретінде бұл "күй-өріс" сәйкестігінің картасы болады. Әрбір үшін эндоморфизмнің мәнін беретін формальды таралым, тепе-теңдік операторы немесе өріс деп аталады, ал коэффициенті оператор болып табылады. Тепе-теңдік алгебраларының контекстінде өріс – бұл элементі, оны кез келген үшін жеткілікті кішкентай (бұл оған байланысты болуы мүмкін) үшін жазуға болады. Көбейтудің стандартты белгісі:

Әдетте қолданылатын OPE

Мұнда конформды өріс теориясында жиі кездесетін кейбір OPE-лер тіркелген. + OPE 1-таралу 2-таралу Коммутациялық қатынастар OPE Атауы Ескертпелер Жалпы OPE Бос бөлшек OPE Төмендегі инварианттық осы OPE-нің "бозондық" табиғатын көрсетеді. Бастапқы өрістің OPE Бастапқы өрістер Virasoro өрісімен көбейтілгенде осы OPE-ні қанағаттандыратын a(z) өрістер ретінде анықталады. Бұл маңызды, себебі олар жол теориясында әлемдік жапырақ координаттарының өзгеруі кезінде "тензорлар сияқты" түрленетін өрістер болып табылады. TT OPE Физикада Вирасоро өрісі көбінесе энергия-импульс тензорымен теңестіріледі және L(z)-ға қарағанда T(z) деп белгіленеді.

Ли алгебраларынан мысалдар

Негізгі мысалдар шексіз өлшемді Лай алгебраларынан келтірілген.

Модульдер

Кәдімгі сақиналар сияқты, vertex алгебрасы модуль немесе өкілдік түсінігін қабылдайды. Модульдер конформдық өріс теориясында маңызды рөл атқарады, онда оларды көбінесе секторлар деп атайды. Физика әдебиетіндегі қалыпты болжам – конформдық өріс теориясының толық Гильберт кеңістігі солға және оңға жылжыған секторлардың тензорлық көбейтінділерінің қосындысына жіктеледі:

Яғни, конформдық өріс теориясы солға жылжыған хиральдық симметриялардың vertex оператор алгебрасын, оңға жылжыған хиральдық симметриялардың vertex оператор алгебрасын қамтиды, ал белгілі бір бағытта қозғалатын секторлар сәйкес vertex оператор алгебрасы үшін модульдер болып табылады.

Хайзенберг алгебрасы модульдері

Хайзенберг алгебрасының модульдері Фок кеңістіктері ретінде құрастырылуы мүмкін, олар Хайзенберг Ли алгебрасының индуцирленген өкілдіктері болып табылады, вакуумдық вектормен беріледі, ол үшін орындалады, және теріс режимдер еркін әрекет етеді. Кеңістікті былай жазуға болады: төменнен шектелген градациясы бар әрбір азайтылмайтын, сыныпталған Хайзенберг алгебрасы модулі осы формада болады. Бұлар тораптық төбе алгебраларын құру үшін қолданылады, олар векторлық кеңістіктер ретінде Хайзенберг модульдерінің тікелей қосындылары болып табылады, егер -тің бейнесі модуль элементтеріне сәйкес кеңейтілгенде. Модульдер санаты жартылай жайлы емес, себебі b0 тривиалды емес Жордан блогы арқылы әрекет ететін абельдік Ли алгебрасының өкілдігі болуы мүмкін. n-ші дәрежелі еркін бозон үшін, күрделі n-өлшемді кеңістіктегі әрбір λ векторы үшін Vλ азайтылмайтын модулі бар. Әрбір b ∈ Cn векторы b0 операторын тудырады, ал Фок кеңістігі Vλ әр b0 ішкі көбейтінді (b, λ) бойынша скалярлық көбейту ретінде әрекет ететін қасиетімен ерекшеленеді.

Бұралған модульдер

Кәдімгі сақиналардан өзгеше, vertex алгебралары автоматты формаға байланысты бұрмаланған модуль ұғымын қабылдайды. N реттік σ автоморфизмі үшін, әрекет V ⊗ M → M((z¹/N)) түрінде болады, келесі монодромия шартымен: егер u ∈ V, σu = exp(2πik/N)u шартын қанағаттандырса, онда un = 0 болады, егер ғана n+k/N ∈ Z шарты орындалса (мамандар арасында таңбалар туралы пікірталас бар). Геометриялық тұрғыдан, бұрмаланған модульдер бұтақталған Галуа жабыны бар алгебралық қисықтағы тармақталу нүктелерімен байланыстырылуы мүмкін. Конформдық өріс теориясы әдебиетінде бұрмаланған модульдер бұрмаланған секторлар деп аталады және орбифолдтардағы тізбек теориясымен тығыз байланысты.

Жаратылыс ұшы алгебрасы

Монстрлық вертикаль алгебрасы (кейде "ай шамы модулі" деп те аталады) – Борхердстің Монстрлық ай шамы болжамдарын дәлелдеудің кілті. Оны 1988 жылы Френкель, Леповский және Мюрман жасады. Оның ерекшелігі – оның мінездемесі тұрақты мүшесі жоқ j инварианты, , және оның автоморфизм тобы – монстр тобы. Ол Лич торынан құралған торлық вертикаль алгебрасын, Лич торын нөлдік нүктеде көтеру арқылы туындаған 2-реттік автоморфизммен орбиталық түрде бүктеу арқылы құрастырылады. Яғни, Leech торының VOA-сы мен бұрмаланған модульдің тікелей қосындысы құрылып, содан кейін туындаған инволюция бойынша бекітілген нүктелер алынады. Френкель, Леповский және Мюрман 1988 жылы орталық заряды 24-ке тең және бөлу функциясы бар бірегей голоморфты вертикаль оператор алгебрасы деп болжады. Бұл болжам әлі де шешілмеген.

Хирал де Рам кешені

Маликов, Шехтман және Вайнтроб локализация әдісі арқылы, тегіс күрделі көптікке bcβγ (бозон-фермиондық суперөріс) жүйесін канондық түрде бекітуге болатынын көрсетті. Бұл түйіршіктер кешені ерекше дифференциалға ие, ал оның жаһандық когомологиясы – бұл төбелік супералгебра. Бен Цви, Хелуани және Шчесни көрсеткендей, көптіктегі Риман метрикасы N=1 суперконформалдық құрылымды тудырады, егер метрика Кэхлерлік және Риччи-жазық болса, онда ол N=2 құрылымына дейін жаңартылады, ал гиперкэхлерлік құрылым N=4 құрылымын тудырады. Борисов пен Либгобер компактты күрделі көптік үшін екі айнымалы эллипстік туысты Чирал де Рам кешенінің когомологиясынан алуға болатынын көрсетті. Егер көптік Калаби-Яу болса, онда бұл туыс әлсіз Якоби формасы болып табылады.

Беттік ақаумен байланысты вертикаль алгебрасы

Вертикальды алгебра жоғары өлшемді кванттық өріс теориясының кіші секторларының бірі ретінде туындауы мүмкін, бұл жоғары өлшемді теория анықталған кеңістіктің екі нақты өлшемді кіші жиынына локалданады. Типик мысал ретінде Бим, Лимос, Лиендо, Пилерс, Растелли және ван Ристің құрамы келтіріледі, ол кез келген 4d N=2 суперконформальды өріс теориясына вертикальды алгебраны байланыстырады. Бұл вертикальды алгебраның қасиеті, оның мінездемесі 4d суперконформальды теорияның Шур индексімен сәйкес келеді. Егер теория әлсіз байланыс лимитіне ие болса, онда вертикальды алгебра bcβγ жүйесінің BRST редукциясы ретінде нақты сипаттамаға ие болады.

Вертекс операторының супералгебрасы

Негізгі векторлық кеңістікті суперкеңістік (яғни Z/2Z-градустелген векторлық кеңістік) деп қарастыру арқылы, vertex superalgebra-ны vertex algebra-мен бірдей деректермен анықтауға болады, мұнда 1 V+ және T жұп оператор болып табылады. Аксиомалар негізінен бірдей, бірақ жергілікті аксиомаға немесе оған эквивалентті формулалардың біріне тиісті таңбаларды енгізу қажет. Яғни, егер a және b гомогенді болса, онда Y(a,z)Y(b,w) εY(b,w)Y(a,z) арқылы салыстырылады, мұнда ε –1-ге тең, егер a және b екеуі де тақ болса, әйтпесе 1-ге тең. Сонымен қатар, егер V2-нің жұп бөлігінде Вирасоро элементі ω болса және әдеттегі градуировка шектеулері орындалса, онда V vertex операторлық супералгебрасы деп аталады. Ең қарапайым мысал – ψ еркін фермионымен туындаған vertex операторлық супералгебрасы. Вирасоро өкілі ретінде оның орталық заряды 1/2-ге тең және ең төменгі салмағы 0 және 1/2 болатын Исинг модульдерінің тікелей қосындысы ретінде ыдырайды. Оны t1/2C[t,t−1](dt)1/2 квадраттық кеңістігіндегі Клиффорд алгебрасының қалдық жұптасуы бойынша спин өкілі ретінде де сипаттауға болады. Vertex операторлық супералгебрасы голоморфты, яғни барлық модульдер өзінің тікелей қосындысы болып табылады, яғни модульдер санаты векторлық кеңістіктер санатына эквивалентті. Еркін фермионның тензорлық квадраты еркін зарядталған фермион деп аталады, ал бозон-фермион сәйкестігі бойынша ол Z тақ торға байланысты vertex супералгебрасына изоморфты. Бұл сәйкестікті Date–Jimbo–Kashiwara–Miwa сызықты емес дифференциалдық теңдеулердің (PDE) KP иерархиясы үшін солитондық шешімдер құру үшін қолданды.

Қосымша құрылыстар

Белгілі нүктелі субальгебралар: Көздеген оператор алгебрасында симметрия тобының әрекеті берілген жағдайда, белгілі векторлардың субальгебрасы да көздеген оператор алгебрасы болып табылады. 2013 жылы Миямото шекті шешілетін топтық әрекеттер бойынша тұрақты нүктелерді алғанда екі маңызды шектілік қасиеттері, атап айтқанда, Жудың C2 шарты мен реттелілігі сақталады екенін дәлелдеді. Ағымдағы кеңейтулер: Көздеген оператор алгебрасы және интегралды конформдық салмақтың модульдері берілгенде, қолайлы жағдайларда тікелей қосындыға көздеген оператор алгебралық құрылымды сипаттауға болады. Торлық көздеген алгебрасы осыған мысал. Тағы бір мысалдар тобы – Ising модельдерінің тензорлық көбейтінділерінен басталатын және сәйкес жұп кодтарға сай модульдерді қосатын кадрлы VOA. Орбифолдтар: Голоморфты VOA-да әрекет ететін шекті циклдік топ берілгенде, екінші голоморфты VOA-ны бұрылмалы модульдерді қосып және индукцияланған автоморфизм бойынша тұрақты нүктелерді алып құрастыруға болады деп болжанады, егер бұл бұрылмалы модульдердің конформдық салмағы сәйкес болса. Бұл ерекше жағдайларда, мысалы, торлық VOA-да әрекет ететін 3-тен аспайтын топтар үшін орын алады. Косет құрылымы (Годдард, Кент және Оливтің еңбегі): V көздеген оператор алгебрасының орталық заряды c және S векторлар жиыны берілгенде, C(V,S) коммутанты V векторларының подкеңістігі ретінде анықталады, онда v векторы S-тен алынған барлық өрістермен қатаң түрде коммутацияланады, яғни Y(s,z)v ∈ V[[z]] барлық s ∈ S үшін. Бұл Y, T және сәйкестік V-ден мұрагерлікпен алынған көздеген субальгебра болып табылады. Егер S орталық заряды cS-тің VOA болса, онда коммутант орталық заряды c–cS-тің VOA болады. Мысалы, SU(2) алгебрасының k+1 деңгейіндегі k және 1 деңгейлеріндегі екі SU(2) алгебрасының тензорлық көбейтіндісіне енуі Virasoro дискретті қатарын p=k+2, q=k+3 түрінде береді, және бұл 1980-ші жылдары олардың бар екенін дәлелдеу үшін қолданылды. SU(2) арқылы k+2 деңгейін k және 2 деңгейлерінің тензорлық көбейтіндісіне ендіру N=1 суперконформдық дискретті қатарды береді. BRST редукциясы: v02=0 шартын қанағаттандыратын кез келген 1-дәрежелі вектор үшін осы оператордың когомологиясы сатылы суперкөздеген алгебралық құрылымға ие. Жалпы алғанда, салмағы 1 болатын кез келген өрісті пайдалануға болады, оның қалдығының квадраты нөлге тең. Әдеттегі әдіс – фермиондармен тензорлау, себебі онда канондық дифференциал бар. Маңызды ерекше жағдай – аффинді Кац-Муди алгебраларына 0-дәрежелі когомология ретінде аффинді W алгебраларын алу үшін қолданылатын кванттық Дринфельд-Соколов редукциясы. Бұл W алгебралары сондай-ақ, скрининг операторларының ядролары арқылы берілген бос босондардың көздеген субальгебралары ретінде де құрылымдалады.

Fixed point subalgebras: Given an action of a symmetry group on a vertex operator algebra, the subalgebra of fixed vectors is also a vertex operator algebra. In 2013, Miyamoto proved that two important finiteness properties, namely Zhu's condition C2 and regularity, are preserved when taking fixed points under finite solvable group actions. Current extensions: Given a vertex operator algebra and some modules of integral conformal weight, one may under favorable circumstances describe a vertex operator algebra structure on the direct sum. Lattice vertex algebras are a standard example of this. Another family of examples are framed VOAs, which start with tensor products of Ising models, and add modules that correspond to suitably even codes. Orbifolds: Given a finite cyclic group acting on a holomorphic VOA, it is conjectured that one may construct a second holomorphic VOA by adjoining irreducible twisted modules and taking fixed points under an induced automorphism, as long as those twisted modules have suitable conformal weight. This is known to be true in special cases, e. g., groups of order at most 3 acting on lattice VOAs. The coset construction (due to Goddard, Kent, and Olive): Given a vertex operator algebra V of central charge c and a set S of vectors, one may define the commutant C(V,S) to be the subspace of vectors v strictly commute with all fields coming from S, i. e., such that Y(s,z)v ∈ V[[z]] for all s ∈ S. This turns out to be a vertex subalgebra, with Y, T, and identity inherited from V. and if S is a VOA of central charge cS, the commutant is a VOA of central charge c–cS. For example, the embedding of SU(2) at level k+1 into the tensor product of two SU(2) algebras at levels k and 1 yields the Virasoro discrete series with p=k+2, q=k+3, and this was used to prove their existence in the 1980s. Again with SU(2), the embedding of level k+2 into the tensor product of level k and level 2 yields the N=1 superconformal discrete series. BRST reduction: For any degree 1 vector v satisfying v02=0, the cohomology of this operator has a graded vertex superalgebra structure. More generally, one may use any weight 1 field whose residue has square zero. The usual method is to tensor with fermions, as one then has a canonical differential. An important special case is quantum Drinfeld–Sokolov reduction applied to affine Kac–Moody algebras to obtain affine W algebras as degree 0 cohomology. These W algebras also admit constructions as vertex subalgebras of free bosons given by kernels of screening operators.

Байланысты алгебралық құрылымдар

Егер вертикаль алгебрада OPE-нің тек жеке бөлігін ғана қарастырсақ, онда Lie конформаль алгебраның анықтамасына келеміз. OPE-нің жеке бөлігімен көбінесе айналысатындықтан, бұл Lie конформаль алгебраларын зерттеуге қолайлы нысанға айналдырады. OPE-нің тұрақты бөлігін ұмытып, вертикаль алгебрадан Lie конформаль алгебраға дейін функтор бар, және оның сол жақ қосымшасы бар, ол "әмбебап вертикаль алгебра" функторы деп аталады. Аффинді Кац–Муди алгебраларының вакуумдық модульдері және Вирасоро вертикаль алгебралары – бұл әмбебап вертикаль алгебралар, әсіресе, олардың негізгі теориясы дамығаннан кейін өте ықшам түрде сипатталуы мүмкін. Әдебиетте вертикаль алгебра ұғымының бірнеше жалпыламалары бар. Кейбір жеңіл жалпыламалар монодромияға рұқсат ету үшін жергілікті аксиоманың әлсіреуін қамтиды, мысалы, Донг пен Леповскийдің абельдік өріліс алгебралары. Оларды шамамен сатылаған векторлық кеңістіктердің тоқылған тензорлық санатындағы вертикаль алгебралық нысандар ретінде қарастыруға болады, дәл сол сияқты вертикаль супералгебра супер векторлық кеңістіктер санатындағы осындай нысан болып табылады. Күрделірек жалпыламалар q деформацияларымен және кванттық топтардың бейнелеулерімен байланысты, мысалы, Френкель–Решетихин, Этингоф–Каждан және Ли еңбектерінде. Бейлинсон мен Дринфельд хиральды алгебраның схемалық теориялық ұғымын енгізді, ол вертикаль алгебра ұғымына жақын, бірақ көзге көрінетін қуат қатарларын қолданбай анықталады. Алгебралық қисық X берілген жағдайда, X-тегі хиральды алгебра – X×X-те ассоциативтілік шартын қанағаттандыратын көбейту операциясымен жабдықталған DX модулі A. Олар сондай-ақ, қисықтың барлық шекті көбейтінділеріндегі квазикогерентті қаптардың жүйесі болып табылатын факторлау алгебрасының эквивалентті ұғымын енгізді, сонымен бірге әртүрлі диагональдардың толықтыруына кері проекцияны қамтитын үйлесімділік шартымен бірге. Аффинді түзудегі кез келген аударма эквивариантты хиральды алгебраны нүктедегі талшық арқылы вертикаль алгебрамен сәйкестендіруге болады, және кез келген вертикаль операторлық алгебраға тегіс алгебралық қисықта хиральды алгебраны қосудың табиғи жолы бар.

If one considers only the singular part of the OPE in a vertex algebra, one arrives at the definition of a Lie conformal algebra. Since one is often only concerned with the singular part of the OPE, this makes Lie conformal algebras a natural object to study. There is a functor from vertex algebras to Lie conformal algebras that forgets the regular part of OPEs, and it has a left adjoint, called the "universal vertex algebra" functor. Vacuum modules of affine Kac–Moody algebras and Virasoro vertex algebras are universal vertex algebras, and in particular, they can be described very concisely once the background theory is developed. There are several generalizations of the notion of vertex algebra in the literature. Some mild generalizations involve a weakening of the locality axiom to allow monodromy, e. g., the abelian intertwining algebras of Dong and Lepowsky. One may view these roughly as vertex algebra objects in a braided tensor category of graded vector spaces, in much the same way that a vertex superalgebra is such an object in the category of super vector spaces. More complicated generalizations relate to q deformations and representations of quantum groups, such as in work of Frenkel–Reshetikhin, Etingof–Kazhdan, and Li. Beilinson and Drinfeld introduced a sheaf theoretic notion of chiral algebra that is closely related to the notion of vertex algebra, but is defined without using any visible power series. Given an algebraic curve X, a chiral algebra on X is a DX module A equipped with a multiplication operation on X×X that satisfies an associativity condition. They also introduced an equivalent notion of factorization algebra that is a system of quasicoherent sheaves on all finite products of the curve, together with a compatibility condition involving pullbacks to the complement of various diagonals. Any translation equivariant chiral algebra on the affine line can be identified with a vertex algebra by taking the fiber at a point, and there is a natural way to attach a chiral algebra on a smooth algebraic curve to any vertex operator algebra.