Введение

Алгебра, используемая в 2D конформных теориях поля и теории струн

В математике, алгебра вершинных операторов (VOA) является алгебраической структурой, играющей важную роль в двухмерных конформных теориях поля и теории струн. Помимо физических приложений, алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических контекстах, таких как монструозный лунный свет и геометрическое соответствие Лэнглендса. Связанное понятие алгебры вершин была введено Ричардом Борхердсом в 1986 году, мотивированным построением бесконечномерной алгебры Ли, выполненным Игорем Френкелем. В ходе этого построения используется пространство Фока, допускающее действие вершинных операторов, присоединенных к элементам решетки. Борхердс сформулировал понятие алгебры вершин, аксиоматизируя соотношения между вершинными операторами решетки, создав алгебраическую структуру, позволяющую строить новые алгебры Ли, следуя методу Френкеля. Понятие алгебры вершинных операторов было введено как модификация понятия алгебры вершин Фрэнкелем, Джеймсом Леповским и Арне Мюрманом в 1988 году в рамках их проекта по построению модуля лунного света. Они заметили, что многие алгебры вершин, возникающие "в природе", несут действие алгебры Вирасоро и удовлетворяют свойству ограниченности снизу относительно энергетического оператора. Мотивированные этим наблюдением, они добавили действие Вирасоро и свойство ограниченности снизу в качестве аксиом. Теперь мы имеем постфактумную мотивацию для этих понятий из физики, а также несколько интерпретаций аксиом, которые изначально были неизвестны. С физической точки зрения, вершинные операторы, возникающие из голоморфных вставок поля в точках в двухмерной конформной теории поля, допускают разложения по операторному произведению при столкновении вставок, и они точно удовлетворяют соотношениям, указанным в определении алгебры вершинных операторов. Действительно, аксиомы алгебры вершинных операторов являются формальной алгебраической интерпретацией того, что физики называют хиральными алгебрами (не путать с более точным понятием с тем же названием в математике) или "алгебрами хиральных симметрий", где эти симметрии описывают тождества Уорда, удовлетворяемые данной конформной теорией поля, включая конформную инвариантность. Другие формулировки аксиом алгебры вершин включают более поздние работы Борхердса по сингулярным коммутативным кольцам, алгебры над некоторыми операдами на кривых, введенные Хуангом, Кризом и другими, теоретические объекты модуля D, называемые хиральными алгебрами, введенные Александром Бейлинсоном и Владимиром Дринфельдом, и алгебры факторизации, также введенные Бейлинсоном и Дринфельдом. Важными базовыми примерами алгебр вершинных операторов являются решеточные VOA (моделирующие конформные теории поля на решетках), VOA, задаваемые представлениями аффинных алгебр Каца — Муди (из модели WZW), Virasoro VOA, которые являются VOA, соответствующими представлениям алгебры Вирасоро, и модуль лунного света V♮, отличающийся своей монстрозной симметрией. Более сложные примеры, такие как аффинные W-алгебры и хиральный комплекс де Рама на комплексном многообразии, возникают в геометрической теории представлений и математической физике.

Алгебра вершин

Вершинная алгебра — это набор данных, удовлетворяющих определенным аксиомам.

Данные

векторное пространство, называемое пространством состояний. В качестве основного поля обычно выбирают комплексные числа, хотя первоначальная формулировка Борхердса допускала произвольное коммутативное кольцо. Элемент идентичности, иногда записываемый как или , обозначающий вакуумное состояние. Эндоморфизм, называемый "трансляцией". (Первоначальная формулировка Борхердса включала систему разделенных степеней , поскольку он не предполагал делимости основного кольца.) Линейное отображение умножения, где – пространство всех формальных рядов Лорана с коэффициентами в . Эта структура имеет альтернативные представления: как бесконечное множество билинейных произведений , где и , так что для каждого существует такое, что для как левое умножение. Это отображение "состояние в поле" в так называемой корреспонденции состояние-поле. Для каждого эндоморфизм, задающий формальное распределение , называется оператором вершины или полем, а коэффициент при является оператором. В контексте вершинных алгебр поле более точно является элементом , который можно записать в виде таком, что для любого при достаточно малых (которые могут зависеть от ). Стандартное обозначение для умножения:

Обычно используемые ОПЭ

Здесь записаны некоторые ОПЭ, часто встречающиеся в конформной теории поля. + ОПЭ 1-е распределение 2-е распределение Коммутационные соотношения ОПЭ Наименование ОПЭ Общий ОПЭ ОПЭ свободного бозона Неизменность указывает на "бозонную" природу этого ОПЭ. ОПЭ основных полей Основные поля определяются как поля a(z), удовлетворяющие этому ОПЭ при умножении на поле Вирасоро. Они важны, поскольку они преобразуются "как тензоры" при координатных преобразованиях мировой поверхности в теории струн. ОПЭ TT В физике поле Вирасоро часто отождествляется с тензором энергии-импульса и обозначается как T(z) вместо L(z).

Примеры из алгебры Ли

Основные примеры взяты из бесконечномерных алгебр Ли.

Модули

Как и обычные кольца, верхушечные алгебры допускают понятие модуля, или представления. Модули играют важную роль в конформной теории поля, где их часто называют секторами. Распространенное предположение в физической литературе состоит в том, что полное гильбертово пространство конформной теории поля раскладывается в сумму тензорных произведений левых и правых секторов:

То есть, конформная теория поля имеет алгебру вершинных операторов левой хиральной симметрии, алгебру вершинных операторов правой хиральной симметрии, и сектора, движущиеся в заданном направлении, являются модулями для соответствующей алгебры вершинных операторов.

Модули алгебры Гейзенберга

Модули алгебры Гейзенберга могут быть построены как пространства Фока, для которых индуцированы представления алгебры Ли Гейзенберга, заданные вакуумным вектором, удовлетворяющим условию для , , и действующие свободно на отрицательные моды для . Это пространство можно записать как . Каждый неприводимый, градуированный модуль алгебры Гейзенберга с градуировкой, ограниченной снизу, имеет такой вид. Они используются для построения решетчатых вершинных алгебр, которые как векторные пространства являются прямыми суммами модулей Гейзенберга, когда образ расширяется соответствующим образом на элементы модуля. Категория модулей не является полупростой, поскольку можно индуцировать представление абелевой алгебры Ли, где b0 действует нетривиальным жордановым блоком. Для свободного бозона ранга n существует неприводимый модуль Vλ для каждого вектора λ в комплексном n-мерном пространстве. Каждый вектор b ∈ Cn порождает оператор b0, а пространство Фока Vλ характеризуется тем, что каждый такой b0 действует как скалярное умножение на внутреннее произведение (b, λ).

Скрученные модули

В отличие от обычных колец, вершинные алгебры допускают понятие скрученного модуля, присоединенного к автоморфизму. Для автоморфизма σ порядка N действие имеет вид V ⊗ M → M((z¹/N)), с следующим условием монодромии: если u ∈ V удовлетворяет σu = exp(2πik/N)u, то uⁿ = 0, если n не удовлетворяет условию n + k/N ∈ Z (среди специалистов существует некоторое разногласие относительно знаков). Геометрически, скрученные модули могут быть присоединены к точкам ветвления на алгебраической кривой с разветвленным галуасовым покрытием. В литературе по конформной теории поля скрученные модули называются скрученными секторами и тесно связаны с теорией струн на орбифолдах.

Алгебра вершин монстра

Алгебра вершин монстра (также называемая "модулем лунного света") является ключом к доказательству Борхердса гипотез Монструсского лунного света. Она была построена Френкелем, Леповским и Мюрманом в 1988 году. Она примечательна тем, что её характер — j-инвариант без постоянного члена, , а её группа автоморфизмов — группа монстров. Она строится орбитальным сложением алгебры вершин решётки, построенной из решётки Лича, посредством автоморфизма порядка 2, индуцированного отражением решётки Лича относительно начала координат. То есть, формируется прямая сумма алгебры вершин решётки Лича с скрученным модулем, и берутся неподвижные точки под индуцированной инволюцией. Френкель, Леповский и Мюрман предположили в 1988 году, что является единственной голоморфной алгеброй вершинных операторов с центральным зарядом 24 и функцией разбиения. Эта гипотеза до сих пор не доказана.

Комплекс Хирал-де-Рам

Маликов, Шектман и Вайнтроб показали, что с помощью метода локализации можно канонически присоединить к гладкому комплексному многообразию систему bcβγ (суперполе бозон-фермиона). Этот комплекс пучков имеет выделенный дифференциал, а его глобальная когомология является вершиной супералгебры. Бен Цви, Хелуани и Шчесны показали, что риманова метрика на многообразии индуцирует N=1 суперконформную структуру, которая расширяется до N=2 структуры, если метрика является кэлеровой и плоской по Риччи, а гиперкэлерова структура индуцирует N=4 структуру. Борисов и Либгобер показали, что эллиптический род двух переменных компактного комплексного многообразия можно получить из когомологии комплекса Хирального де Рама. Если многообразие является Калаби-Яу, то этот род является слабой формой Якоби.

Вертикальная алгебра, связанная с дефектом поверхности

Верхняя алгебра может возникать как подсектор квантовой теории поля более высокой размерности, локализующийся на двумерном вещественном подмногообразии пространства, на котором определена теория большей размерности. Прототипическим примером является конструкция Бима, Лимоса, Лиендо, Пилерса, Растелли и ван Риса, которая сопоставляет верхнюю алгебру любой 4d N=2 суперконформной теории поля. Эта верхняя алгебра обладает свойством, что её характер совпадает со индексом Шура 4d суперконформной теории. Когда теория допускает предел слабого взаимодействия, верхняя алгебра имеет явное описание как BRST-редукция системы bcβγ.

Вертикальные операторы супералгебры

Позволяя лежащему в основе векторному пространству быть суперпространством (т. е. Z/2Z-градуированным векторным пространством), можно определить супералгебру вершин теми же данными, что и алгебру вершин, с 1 в V+ и T как четный оператор. Аксиомы в основном одинаковы, но необходимо включать соответствующие знаки в аксиому локальности или одну из эквивалентных формулировок. То есть, если a и b однородны, то Y(a,z)Y(b,w) сравнивается с εY(b,w)Y(a,z), где ε равно –1, если и a, и b нечетны, и 1 в противном случае. Если дополнительно существует элемент Вирасоро ω в четной части V2 и выполнены обычные ограничения на градуировку, то V называется супералгеброй операторов вершин. Одним из простейших примеров является супералгебра операторов вершин, порожденная единственным свободным фермионом ψ. Как представление Вирасоро, она имеет центральный заряд 1/2 и раскладывается в прямую сумму модулей Изинга с наименьшим весом 0 и 1/2. Её также можно описать как спинорное представление алгебры Клиффорда на квадратичном пространстве t1/2C[t,t−1](dt)1/2 с парой остатков. Супералгебра операторов вершин является голоморфной в том смысле, что все модули являются прямыми суммами самих себя, то есть категория модулей эквивалентна категории векторных пространств. Тензорное произведение свободного фермиона называется свободным заряженным фермионом, и в силу соответствия бозон-фермион оно изоморфно решеточной супералгебре вершин, присоединенной к нечетной решетке Z. Это соответствие было использовано Date, Jimbo, Kashiwara и Miwa для построения солитонных решений иерархии KP нелинейных уравнений в частных производных.

Дополнительные конструкции

Субальгебры фиксированной точки: При заданном действии группы симметрии на алгебре вершинных операторов, субальгебра фиксированных векторов также является алгеброй вершинных операторов. В 2013 году Миямото доказал, что два важных свойства конечности, а именно условие Цю C2 и регулярность, сохраняются при переходе к фиксированным точкам под действием конечных разрешимых групп. Текущие расширения: Для заданной алгебры вершинных операторов и некоторых модулей интегрального конформного веса, при благоприятных обстоятельствах можно описать структуру алгебры вершинных операторов на прямой сумме. Алгебры вершин решеток являются стандартным примером этого. Другим семейством примеров являются фреймовые VOA, которые начинаются с тензорных произведений моделей Изинга и добавляют модули, соответствующие подходящим четным кодам. Орбифолды: Для заданной конечной циклической группы, действующей на голоморфную VOA, предполагается, что можно построить вторую голоморфную VOA, присоединяя неприводимые скрученные модули и беря фиксированные точки под индуцированным автоморфизмом, при условии, что эти скрученные модули имеют подходящий конформный вес. Известно, что это верно в частных случаях, например, для групп порядка не более 3, действующих на решетчатых VOA. Косетная конструкция (благодаря Годдарду, Кенту и Оливу): Для заданной алгебры вершинных операторов V с центральным зарядом c и множества векторов S можно определить коммутант C(V,S) как подпространство векторов v, строго коммутирующих со всеми полями, порожденными S, то есть таких, что Y(s,z)v ∈ V[[z]] для всех s ∈ S. Оказывается, что это является субальгеброй вершинных операторов, с операторами Y, T и единичным оператором, унаследованными от V. И если S является VOA с центральным зарядом cS, то коммутант является VOA с центральным зарядом c–cS. Например, вложение SU(2) на уровне k+1 в тензорное произведение двух алгебр SU(2) на уровнях k и 1 дает дискретный ряд Вирасоро с p=k+2, q=k+3, и это было использовано для доказательства их существования в 1980-х годах. Снова с SU(2), вложение уровня k+2 в тензорное произведение уровня k и уровня 2 дает N=1 суперконформный дискретный ряд. BRST-сокращение: Для любого вектора v степени 1, удовлетворяющего v0²=0, кохомология этого оператора имеет структуру градуированной супералгебры вершин. В более общем смысле можно использовать любое поле веса 1, остаток которого имеет нулевой квадрат. Обычно используется тензорное произведение с фермионами, поскольку тогда получается канонический дифференциал. Важным частным случаем является квантовое редуцирование Дринфельда–Соколова, применяемое к аффинным алгебрам Каца–Муди для получения аффинных алгебр W как кохомологий 0-й степени. Эти W-алгебры также допускают построение как субальгебры вершин свободных бозонов, заданные ядрами скрининговых операторов.

Связанные алгебраические структуры

Если рассматривать только сингулярную часть OPE в вершинной алгебре, то можно прийти к определению конформной алгебры Ли. Поскольку часто интересует именно сингулярная часть OPE, это делает конформные алгебры Ли естественным объектом для изучения. Существует функтор из вершинных алгебр в конформные алгебры Ли, который забывает регулярную часть OPE, и у него есть левый сопряженный, называемый функтором "универсальной вершинной алгебры". Вакуумные модули аффинных алгебр Каца — Муди и алгебр вершин Вирасоро являются универсальными вершинами алгебр, и, в частности, их можно описать очень лаконично, как только будет разработана базовая теория. В литературе существует несколько обобщений понятия вершинной алгебры. Некоторые умеренные обобщения включают ослабление аксиомы локальности для допуска монодромии, например, абелевы переплетенные алгебры Донга и Леповского. Их можно рассматривать как объекты, подобные вершинным алгебрам, в плетеной тензорной категории градуированных векторных пространств, аналогично тому, как вершинная супералгебра является таким объектом в категории супервекторных пространств. Более сложные обобщения связаны с q-деформациями и представлениями квантовых групп, как, например, в работах Френкеля — Решетихина, Этингофа — Каждана и Ли. Бейлинсон и Дринфельд ввели понятие хиральной алгебры в терминах пучков, которое тесно связано с понятием вершинной алгебры, но определяется без использования явных степенных рядов. Для алгебраической кривой X хиральная алгебра на X представляет собой модуль DX A, снабженный операцией умножения на X×X, удовлетворяющей условию ассоциативности. Они также ввели эквивалентное понятие алгебры факторизации, представляющей собой систему квазикогерентных пучков на всех конечных произведениях кривой, вместе с условием согласованности, включающим отступления к дополнению различных диагоналей. Любая трансляционно инвариантная хиральная алгебра на аффинной прямой может быть отождествлена с вершинной алгеброй, взяв волокно в точке, и существует естественный способ присоединить хиральную алгебру на гладкой алгебраической кривой к любой алгебре вершинных операторов.