Клейн тобы және Мебиус түрленулері

Кіріспе

Мёбиус түрлендірулерінің дискретті тобы

Математикада Клейн тобы — гиперболалық 3-кеңістіктің бағдарды сақтайтын изометриялары тобының дискретті кіші тобы. Бұл топ PSL(2,ℂ) арқылы сәйкестендіріледі, ол 1-ге тең детерминанты бар 2x2 кешенді матрицалардың ортасымен бөлінген үлестік тобы болып табылады, ал орталық элементтері — бірлік матрица және оның -1-ге көбейтіндісі. PSL(2,ℂ) Риман сферасының бағдарды сақтайтын конформдық түрлендірулерінің және ℝ³-тегі ашық бірлік шар B³-тің бағдарды сақтайтын конформдық түрлендірулерінің табиғи бейнесі ретінде қарастырылады. Мёбиус түрлендірулерінің тобы да H³-тің бағдарды сақтамайтын изометриялары тобы PGL(2,ℂ) ретінде байланысты. Осылайша, Клейн тобы осы кеңістіктердің бірінде әрекет ететін дискретті кіші топ ретінде қарастырылуы мүмкін.

Тарих

Жалпы Клейн тобының теориясы Ф. Клейн мен оның ізбасары негіздеген, олар осы топтарды Феликс Клейн атымен атады. Шотки тобының ерекше жағдайы бұрын, 1877 жылы Шотки тарапынан зерттелген.

Анықтамалар

Клейн тобының бір қазіргі анықтамасы – гиперболалық изометриялардың дискретті тобы ретінде 3 шарда әрекет ететін топ. Гиперболалық 3 кеңістіктің табиғи шекарасы бар; шар моделінде оны 2 сферамен сәйкестендіруге болады. Біз оны шексіз сфера деп атаймыз және оны А деп белгілейміз. Гиперболалық изометрия шексіз сфераның конформды гомеоморфизміне дейін кеңейеді (және керісінше, шексіз сферадағы әрбір конформды гомеоморфизм Поанкаре кеңейтуі арқылы шардағы гиперболалық изометрияға дейін бірегей түрде кеңейеді). Бұл күрделі талдаудың стандартты нәтижесі, Риман сферасындағы конформды гомеоморфизмдер – дәл Мёбиус түрлендірулері, оларды әрі проективті сызықтық топтың элементтері ретінде анықтауға болады PGL(2,C). Осылайша, Клейн тобын PGL(2,C) ішіндегі Γ кіші тобы ретінде де анықтауға болады. Классикалық түрде, Клейн тобы Риман сферасының бос емес ашық ішкі жиынында дұрыс үздіксіз әрекет етуі керек болды, бірақ қазіргі қолданыс кез келген дискретті кіші топқа рұқсат береді. Егер Γ гиперболалық 3 көптүрліліктің фундаменталдық тобына изоморфты болса, онда H3/Γ үлестік кеңістік көптүрліліктің Клейн моделіне айналады. Көптеген авторлар Клейн моделі мен Клейн тобы терминдерін бірін-бірі алмастырады, бірін екіншісінің орнына қолданады. Дискреттілік гиперболалық 3 кеңістіктің ішкі бөлігіндегі нүктелердің шекті тұрақтандырғыштары бар екенін және Γ тобының дискретті орбиталары бар екенін білдіреді. Екінші жағынан, p нүктесінің Γp орбитасы әдетте жабық шардың шекарасында жиналады. Γp-нің жиналу нүктелерінің жиынтығы Γ-ның шекті жиынтығы деп аталады және әдетте белгіленеді. Толықтыруы үздіксіздік домені немесе қалыпты жиын немесе реттелген жиын деп аталады. Ахлфорстың шектілік теоремасы топ шекті түрде туындаса, онда шекті типтегі Риман бетінің орбифолдысы болады. Б3 бірлік шары өзінің конформды құрылымымен гиперболалық 3 кеңістіктің Пуанкаре моделі болып табылады. Егер оны метрикалық тұрғыдан қарастырсақ, ол 3 өлшемді гиперболалық кеңістік H3-тің моделі болады. B3-тің конформды өзіндік бейнелеулер жиыны осы сәйкестендіру бойынша H3-тің изометриялары (яғни қашықтықты сақтайтын бейнелеулер) жиынына айналады. Мұндай бейнелеулер , Мёбиус түрлендірулері болып табылатын конформды өзіндік бейнелеулерге шектеледі. Изоморфизмдер бар. Орындылықты сақтайтын түрлендірулерден тұратын осы топтардың кіші топтары проективті матрица тобына барлық изоморфты болады: PSL(2,C) бірлік сфераны күрделі проективті түзумен P1(C) сәйкестендіру арқылы.

One modern definition of Kleinian group is as a group which acts on the 3 ball as a discrete group of hyperbolic isometries. Hyperbolic 3 space has a natural boundary; in the ball model, this can be identified with the 2 sphere. We call it the sphere at infinity, and denote it by A hyperbolic isometry extends to a conformal homeomorphism of the sphere at infinity (and conversely, every conformal homeomorphism on the sphere at infinity extends uniquely to a hyperbolic isometry on the ball by Poincaré extension. It is a standard result from complex analysis that conformal homeomorphisms on the Riemann sphere are exactly the Möbius transformations, which can further be identified as elements of the projective linear group PGL(2,C). Thus, a Kleinian group can also be defined as a subgroup Γ of PGL(2,C). Classically, a Kleinian group was required to act properly discontinuously on a non empty open subset of the Riemann sphere, but modern usage allows any discrete subgroup. When Γ is isomorphic to the fundamental group of a hyperbolic 3 manifold, then the quotient space H3/Γ becomes a Kleinian model of the manifold. Many authors use the terms Kleinian model and Kleinian group interchangeably, letting the one stand for the other. Discreteness implies points in the interior of hyperbolic 3 space have finite stabilizers, and discrete orbits under the group Γ. On the other hand, the orbit Γp of a point p will typically accumulate on the boundary of the closed ball
The set of accumulation points of Γp in is called the limit set of Γ, and usually denoted The complement is called the domain of discontinuity or the ordinary set or the regular set. Ahlfors' finiteness theorem implies that if the group is finitely generated then is a Riemann surface orbifold of finite type. The unit ball B3 with its conformal structure is the Poincaré model of hyperbolic 3 space. When we think of it metrically, with metric

it is a model of 3 dimensional hyperbolic space H3. The set of conformal self maps of B3 becomes the set of isometries (i. e. distance preserving maps) of H3 under this identification. Such maps restrict to conformal self maps of , which are Möbius transformations. There are isomorphisms

The subgroups of these groups consisting of orientation preserving transformations are all isomorphic to the projective matrix group: PSL(2,C) via the usual identification of the unit sphere with the complex projective line P1(C).

Түрлері

Клейн тобы үздіксіздік аймағының топ әрекеті бойынша компонент орбиталарының саны шекті болса, әрі әр компоненттің тұрақтандырғышы бойынша бөлігі шекті көп нүктелері алынып тасталған компакт Риман беті болса, және жабын шекті көп нүктеде тармақталады, онда шекті типте болады деп айтылады. Егер Клейн тобының генераторларының саны шекті болса, онда ол шекті түрде туындайды деп аталады. Ахлфорстың шектілік теоремасы мұндай топтың шекті типте екенін көрсетеді. Егер H3/Γ көлемі шекті болса, онда Клейн тобының коволюмі шекті болады. Кез келген шекті коволюмді Клейн тобы шекті түрде туындайды. Клейн тобы гиперболалық 3-кеңістікте шекті көп жағы бар негізгі көпбұрышы болса, онда геометриялық шекті деп аталады. Ахлфорс шекті жиынтық Риман сферасының толық бөлігі болмаса, онда оның өлшемі 0-ге тең екенін көрсетті. Клейн тобы Γ кватернион алгебрасы A-ның топтық нормасы 1-ге тең элементтерімен салыстырылатын болса, және бұл алгебра k сандық өрісіндегі барлық нақты орындарда тармақталып, дәл бір кешенді орынға ие болса, онда арифметикалық деп аталады. Арифметикалық Клейн топтарының коволюмі шекті. Егер H3/Γ компакт болса немесе SL(2, C)/Γ компакт болса, онда Γ Клейн тобы кокомпакт деп аталады. Кокомпакт Клейн топтарының коволюмі шекті. Клейн тобы шекті түрде туындап, оның гиперболалық көптігі шекті шекарасы бар компакт көптіктің ішкі бөлігіне гомеоморфты болса, онда топологиялық жағынан жайлы деп аталады. Клейн тобы геометриялық жағынан жайлы немесе жай ғана дегенеративті болса, онда геометриялық жағынан қолжетімді деп аталады. Егер шекті жиынтық Риман сферасының толық бөлігі болса, онда Клейн тобы 1-типті, ал әйтпесе 2-типті болады.

Бьянки топтары

Бианки тобы — PSL(2, Od) түріндегі Клейн тобы, мұнда d — оң квадраттық еркін сан, ал Od — қиялдық квадраттық өрістің бүтін сандар сақинасы.

Элементар және қайталанатын Клейндік топтар

Клейндік топ, егер оның шекті жиыны шекті болса, элементар деп аталады, онда шекті жиын 0, 1 немесе 2 нүктеден тұрады. Элементар Клейндік топтардың мысалдарына шекті Клейндік топтар (бос шекті жиыны бар) және шексіз циклдік Клейндік топтар жатады. Клейндік топ, егер оның барлық элементтері Риман сферасында ортақ бекітілген нүктеге ие болса, қысқартылатын деп аталады. Қысқартылатын Клейндік топтар элементар болып табылады, бірақ кейбір элементар шекті Клейндік топтар қысқартылмайды.

Фуксиандық топтар

Кез келген Фуксиан тобы (PSL(2, R) дискретті кіші тобы) – Клейн тобы, ал керісінше, Риман сферасында әрекет ету кезінде нақты сызықты сақтайтын кез келген Клейн тобы – Фуксиан тобы. Әрі жалпы алғанда, Риман сферасында шеңберді немесе түзу сызықты сақтайтын әрбір Клейн тобы Фуксиан тобына теңдес.

Квази-Фуксиандық топтар

Джордан қисығын сақтайтын Клейн тобы квази-Фуксиан тобы деп аталады. Егер Джордан қисығы шеңбер немесе түзу сызық болса, онда олар конформациялық түрлендірулер астында Фуксиан топтарына эквивалент болады. Шекті түрде жасалған квази-Фуксиан топтары квази-конформациялық түрлендірулер астында Фуксиан топтарына конъюгат болады. Шекті жиын инвариантты Джордан қисығының ішінде орналасқан, және егер ол Джордан қисығымен сәйкес келсе, онда топ бірінші типті деп айтылады, әйтпесе екінші типті деп айтылады.

Шотки топтары

Ci – шешілген жабық дискілердің жиынтығының шекаралық шеңберлері болсын. Әрбір шеңбердегі инверсия арқылы жасалған топтың шек жиынтығы Кантор жиынтығын құрайды, ал H3/G бөлігі – негізгі кеңістігі шар болатын көздердік орбифолд. Ол тұтқалы денемен екі рет жабылады; сәйкес индекс 2 кіші тобы – Шотки тобы деп аталатын Клейн тобы.

Кристаллографиялық топтар

T гиперболалық 3 кеңістіктің периодтық кескіні болсын. Кескіннің симметриялар тобы Клейн тобы болып табылады.

Гиперболалық 3-көптүрліліктердің негізгі топтары

Кез келген бағдарланған гиперболалық 3-көптіктің негізгі тобы Клейн тобы болып табылады. Мұндай мысалдар көп, мысалы, сегіздік түйінінің толықтыруы немесе Зейферт-Вебер кеңістігі. Керісінше, егер Клейн тобында тривиалды емес бұрылыс элементтері болмаса, онда ол гиперболалық 3-көптіктің негізгі тобы болып табылады.

Клейндік топтардың дегенерациясы

Клейндік топ, егер ол элементар емес болса және оның шекті жиынтығы жай байланысқан болса, дегенеративті деп аталады. Мұндай топтарды квази-Фуксиялық топтардың сәйкес шегін алу арқылы құруға болады, мұнда тұрақты нүктелердің екі компонентінің біреуі бос жиынға дейін жиырылады; мұндай топтар жеке дегенеративті деп аталады. Егер тұрақты жиынның екі компоненті де бос жиынға дейін жиырылса, онда шекті жиын кеңістікті толтыратын қисыққа айналады және топ қос дегенеративті деп аталады. Дегенеративті Клейниандық топтардың бар екендігі алғаш рет жанама түрде көрсетілді, ал алғашқы нақты мысалын Жоргенсен тапты. болса, ол екі есе дегенеративті топтар мен псевдо-Аносов карталарына байланысты кеңістікті толтыратын қисықтардың мысалдарын келтірді.